Enunciado

Suponhamos que a derivada da função y = f ( x ) seja y ' = x - 1 2 ( x - 2 ) ( x - 4 ) .

Em que pontos, se houver, o gráfico de f apresenta um mínimo local, um máximo local, ou um ponto de inflexão?

Passo 1

A função apresenta mínimos ou máximos locais quando a derivada primeira é zero, são os pontos críticos:

y ' = x - 1 2 x - 2 x - 4 = 0 → x = 1 ,   x = 2   e   x = 4

A partir dos pontos críticos, se a derivada segunda for negativa temos um ponto de máximo, e se for positiva, temos um ponto de mínimo.

Passo 2

Vamos calcular a derivada segunda então...

y ' ' = 2 x - 1 x - 2 x - 4 + x - 4 x - 1 2 + x - 1 2 x - 2 = 2 ( x - 1 ) ( 2 x 2 - 10 x + 11 )

Substituindo os valores nessa função então, temos:

y ' ' 1 = 0

y ' ' 2 = - 10 < 0

y ' ' 4 = 18 > 0

Sobre x = 1 ainda não podemos afirmar nada pois y ' ' foi nula. Mas já sabemos que temos um máximo local em x = 2 e um mínimo local em x = 4 .

Passo 3

Os pontos de inflexão são quando a derivada segunda é zero. Nossa y ' ' é:

y ' ' =   2 x - 1 2 x 2 - 10 x + 11 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, temos: x = 5 + 3 2   e   x = 5 - 3 2 .

E x - 1 = 0 → x = 1

Esses são nossos pontos de inflexão.

Passo 4

Vamos então fazer a tabela de sinais de y ' e y ' ' para definir os intervalos de crescimento e o tipo de concavidade:

E assim, comprovamos os pontos encontrados anteriormente.

Resposta

Ponto mínimo: x = 4 .

Ponto máximo: x = 2

Pontos de inflexão: x = 1 ,   x = 5 + 3 2   e   x = 5 - 3 2 .

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