Enunciado

Para x > 0 , esboce a curva y = f x   que tem f 1 = 0 e f ' x = 1 x . O que se pode dizer sobre a concavidade dessa curva? Justifique sua resposta.

Passo 1

A função que apresenta f ' x = 1 x é a logaritmo natural...

( ln ⁡ x ) '   = 1 x

Vamos então analisar o gráfico de ln ⁡ x para x > 0 :

Vemos pelo gráfico que a concavidade é sempre para baixo...

Mas por quê?

A concavidade é dada pela derivada segunda né? Vamos ver então...

Passo 2

A derivada segunda da função é:

f ' ' x =   - 1 x 2  

Veja que x 2 é sempre positivo, mas - 1 é sempre negativo, logo, independente de qual seja o valor de x, f ' ' x < 0 . Portanto, a concavidade é sempre para baixo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use o roteiro desta seção para esboçar a curva y = x 2 - 1 2 3
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva y = x e - x
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Use o roteiro desta seção para esboçar a curva y = x 2 + 1 - x
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva y = x ln ⁡ x 2