Enunciado

Esboce um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais, verticais, obliquas e curvilíneas e dê suas equações. Identifique (se houver) os pontos em que o gráfico cruza uma assíntota. Confira seu trabalho com um recurso gráfico.

23. x 3 - 4 x - 8 x + 2

Passo 1

Beleza... vamos separar o que ele quer na questão: esboço do gráfico, as assíntotas e os pontos que o gráfico cruza uma assíntota, isso se existir. Da equação x 3 - 4 x - 8 x + 2

Passo 2

Antes de calcular o gráfico, vamos achar as assíntotas para ter uma noção melhor de como essa função vai se comportar.

Começando pela assíntota vertical: ela ocorre para pontos não definidos, por exemplo pontos que o denominador zera, no caso da nossa equação o ponto em que x = - 2 , então sabemos que nossa assíntota vertical é nesse ponto e nosso gráfico “explode” nele.

A assíntota horizontal é calculada fazendo o lim x → ∞ ⁡ x 3 - 4 x - 8 x + 2 e se a gente tiver um valor constante, esse é o ponto da onde temos a assíntota horizontal

Para resolver esse limite vamos dividir pelo denominador de maior potencia, no caso x

lim x → ∞ ⁡ x 2 - 4 - 8 x 1 + 2 x

Substituindo x por , lembrando que divisão por , dá zero, vamos ter :

lim x → ∞ ⁡ ∞   2 - 4 - 0 1 + 0 =   ∞

Então, como nossa assíntota horizontal não deu um número constante, não temos assíntota horizontal

Como a gente não tem assíntota horizontal, vamos analisar a assíntota oblíqua, que é ninguém mais ninguém menos que uma reta, então tem a forma de y = m x + n , onde m e n são calculados da seguinte forma:

m =   lim x → ∞ ⁡ f x x

n =   lim x → ∞ ⁡ f x - m x

Vamos então começar com m :

m =   lim x → ∞ ⁡ x 3 - 4 x - 8 x + 2 x = l i m x → ∞ x 3 - 4 x - 8 x 2 + 2 x

l i m x → ∞ x - 4 x - 8 x 2 1 + 2 x

lim x → ∞ ⁡ f x x =   ∞

Como não temos um número constante, não existe assíntota oblíquoa.

A assíntota curvilínea é o quociente da divisão entre os polinômios de f ( x ) que vai ser a divisão entre os polinômios x 3 - 4 x - 8 dividido por x + 2 , fazendo a divisão entre os polinômios, achamos que o quociente dessa divisão é x 2 - 2 x .

Passo 3

Agora que já temos as assíntotas, vamos fazer um esboço do gráfico.Sabemos que ele explode em -2, de acordo com a assíntota vertical; ele não tem assíntota horizontal mas tem curvilínea, que é a curva x 2 - 2 x .

No gráfico, a linha solida verde é nosso gráfico e a linha azul pontilhada a nossa assíntota curvilínea!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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