Enunciado

Mostre que a curva y = x - tan - 1 ⁡ x tem duas assíntotas oblíquas: y = x + π / 2 e y = x - π / 2 . Use esse fato para esboçar a curva.

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos mostrar que a função possui duas assíntotas oblíquas. Para isso, iremos utilizar o seguinte limite

lim x → ∞ ⁡ f x - m x + b = 0

Onde m x + b é a equação da assíntota oblíqua. Iremos utilizar os conceitos desse capítulo para tirar conclusões a respeito do gráfico de f ( x ) .

Passo 2

Derivando y em relação a x , temos

y ' = 1 - 1 1 + x 2 = x 2 1 + x 2

Como y ' ≥ 0 para todos os valores de x , então nossa função está crescendo em todos os pontos.

Derivando f ' ( x ) em relação a x , temos

y ' ' x = 2 x 1 + x 2 2

Como y ' ' x ≥ 0 para todos os valores de x , então nossa função possui concavidade para baixo em - ∞ ,   0 e concavidade para cima em 0 ,   ∞ . A função não possui pontos críticos, portanto não possui valores de máximo e mínimo e é simétrica em relação à origem. O único ponto de inflexão está em 0 ,   0 .

Passo 3

Resolvendo o seguinte limite, temos

lim x → ∞ ⁡ f x - x - π 2 = lim x → ∞ ⁡ x - tan - 1 ⁡ x - x - π 2 = 0  

Dessa forma, x - π 2 é uma assíntota oblíqua a f x . Resolvendo o seguinte limite, temos

lim x → - ∞ ⁡ f x - x + π 2 = lim x → - ∞ ⁡ x - tan - 1 ⁡ x - x + π 2 = 0  

Dessa forma, x + π 2 é uma assíntota oblíqua a f x .

Resposta

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