Enunciado

Seja f x = x 3 + 1 / x . Mostre que

lim x → ± ∞ ⁡ f x - x 2 = 0

Isso mostra que o gráfico de f tende ao gráfico de y = x 2 , e dizemos que a curva y = f ( x ) é assintótica à parábola y = x 2 . Use esse fato para ajudá-lo no esboço do gráfico de f .

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos mostrar que a função possui uma assíntotas oblíqua. Para isso, iremos utilizar o seguinte limite

lim x → ∞ ⁡ f x - m x + b = 0

Onde m x + b é a equação da assíntota oblíqua. Iremos utilizar os conceitos desse capítulo para tirar conclusões a respeito do gráfico de f ( x ) .

Passo 2

Derivando y em relação a x , temos

y ' = 2 x - 1 x 2

Como y ' ≥ 0 para x > 1 2 3 e f ' x < 0 , para x < 0 , então nossa função está crescendo em 1 2 3 ,   ∞ e decrescendo em - ∞ ,   0 .

Derivando f ' ( x ) em relação a x , temos

y ' ' x = 2 + 2 x 3

Como y ' ' x > 0 para x < - 1 ou x > 0 , então nossa função possui concavidade para cima em - ∞ ,   - 1 e em 0 ,   ∞ e concavidade para baixo em ( - 1 ,   0 ) . A função possui valores de mínimo local em f 1 2 3 = 3 3 3 2 e não possui valores de máximo local. A função possui ponto de inflexão em ( - 1 ,   0 ) .

Passo 3

Resolvendo o seguinte limite, temos

lim x → ± ∞ ⁡ f x - x 2 = lim x → ± ∞ ⁡ x 2 + 1 x - x 2 = 0

Dessa forma, x 2 é uma assíntota oblíqua de f x .

Resposta

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Use o roteiro desta seção para esboçar o gráfico da curva. No passo D , ache uma equação para a assíntota oblíqua. y = 2 x 3 + x 2 + 1 x 2 + 1
Use as assíntotas de f x = sin ⁡ x + e - x para esboçar o gráfico sem recorrer ao procedimento desta seção.
Esboce um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais, verticais, obliquas e curvilíneas e dê suas equações. I
Esboce um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais, verticais, obliquas e curvilíneas e dê suas equações. I
Mostre que y = 3 - x 2 é uma assíntota curvilínea do gráfico de f x = 2 + 3 x - x 3 x . Esboce o gráfico de y = f x , mostrando esse comportamento assintótico.