Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 74
Seja . Mostre que
Isso mostra que o gráfico de tende ao gráfico de , e dizemos que a curva é assintótica à parábola . Use esse fato para ajudá-lo no esboço do gráfico de .
Passo 1
Bom galera, nessa questão queremos mostrar que a função possui uma assíntotas oblíqua. Para isso, iremos utilizar o seguinte limite
Onde é a equação da assíntota oblíqua. Iremos utilizar os conceitos desse capítulo para tirar conclusões a respeito do gráfico de .
Passo 2
Derivando em relação a , temos
Como para e , para , então nossa função está crescendo em e decrescendo em .
Derivando em relação a , temos
Como para ou , então nossa função possui concavidade para cima em e em e concavidade para baixo em . A função possui valores de mínimo local em e não possui valores de máximo local. A função possui ponto de inflexão em .
Passo 3
Resolvendo o seguinte limite, temos
Dessa forma, é uma assíntota oblíqua de .