Enunciado

Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de a para os quais lim x → a ⁡ f ( x )   existe.

f x = 1 + sin ⁡ x       ,   s e   x < 0                     cos ⁡ x                     ,   s e   0 ≤ x ≤ π sin ⁡ x                       ,   s e   x > π                  

Passo 1

Falaaaaaa aí, belezinha?? Bom... a questão nos dá a seguinte função f x :

f x = 1 + sin ⁡ x       ,   s e   x < 0                     cos ⁡ x                     ,   s e   0 ≤ x ≤ π sin ⁡ x                       ,   s e   x > π                  

Essa é uma função definida por partes, então pra esboçar o gráfico, nós vamos pegar os 3 gráficos das 3 funções e junt-alos nos seus respectivos intervalos.

Depois vamos usar esse gráfico pra determinar os valores de a para os quais o seguinte limite existe:

lim x → a ⁡ f ( x )

Pra que um limite exista num ponto x = a , precisamos que os limites laterais sejam iguais nesse ponto. Em outras palavras, o limite pela esquerda precisa ser igual ao limite pela direita:

lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a - ⁡ f ( x )

Lembrando que limite lateral é um limite calculado considerando a aproximação do ponto apenas por um lado (valores maiores ou menores que ele). Mas vamos ver melhor isso depois.

E aí?? Bora lá??!! 😉

Passo 2

Com o auxilio do GeoGebra, vamos ver os gráficos de y = s e n   x e y = cos ⁡ x que já são funções bem conhecidas:

Pra obter o gráfico de y = s e n x + 1 , basta adicionar 1 a todos os valores da função, ou seja, desloca-la pra cima em 1 unidade:

Agora pegando cada um deles nos intervalos dados pelo enunciado:

f x = 1 + sin ⁡ x       ,   s e   x < 0                     cos ⁡ x                     ,   s e   0 ≤ x ≤ π sin ⁡ x                       ,   s e   x > π                  

Passo 3

Como já introduzimos no passo 1, para que um limite exista precisamos que os limites laterais (limite à direita e limite à esquerda) sejam iguais. O limite à direita de f ( x ) quando x se aproxima de c pela direita e o limite à esquerda de f ( x ) quando x se aproxima de c pela esquerda devem ambos existir e serem iguais.

CUIDADO! Não tem problema se a função não for contínua naquele ponto, ou seja, se o valor da função for diferente do limite. Apenas precisamos que o limite exista.

Vamos olhar o gráfico!

Como podemos ver, as 3 funções são contínuas (funções seno e cosseno são contínuas) e o limite existe em todos os pontos pra cada trecho.

Os pontos que desconfiamos são os pontos de ligação, ou seja

x = 0

x = π

Em x = 0 , na junção da curva rosa com a curva roxa no entanto, temos continuidade. Se nos aproximamos do ponto x = 0 pela direita ou pela esquerda, chegamos no mesmo lugar. Então nesse ponto o limite existe.

Já no ponto x = π , entre as curvas roxa e verde, claramente temos um salto.

  • Vindo pela direita (curva verde), a função se aproxima do valor f x = 0
  • Vindo pela esquerda (curva roxa), a função se aproxima de f x = - 1

Então, como os limites laterais são diferentes, o limite geral lim x → π ⁡ f ( x )   não existe neste ponto.

Concluindo, o lim x → a ⁡ f ( x )   existe para todos os valores de a ,   exceto para a = π

Resposta

O lim x → a ⁡ f ( x )   existe para todos os valores de a ,   exceto para a = π

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