Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 8
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:
Passo 1
Opa! Bora resolver essa questão?! O enunciado nos da uma função:
E pede pra a gente traçar essa curva, utilizando os guias desta secção do livro. Aqui não tem muito mistério, vamos seguir uma receitinha de bolo!
Pra matar o primeiro item do roteiro, temos que definir o domínio de , isto é, o conjunto dos valores de para os quais está definida. Nossa função é polinomial, portanto:
Passo 2
Agora devemos definir as intersecções com os eixos. Para o eixo temos :
Para o eixo teremos :
Passo 3
Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:
Para esta função, tomando :
A função é polinomial, então ela não possui período! Mas vimos que a condição de função par foi satisfeita. Isso significa que o lado positivo do eixo é o “espelho” do lado negativo.
Passo 4
Temos que verificar também a existência de assíntotas, mas como nossa função é polinomial e não aparece nenhum no denominador, não precisamos nos preocupar com isso. Não há assíntotas!
Passo 5
O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos e encontramos os intervalos nos quais é positiva ( é crescente) e os intervalos nos quais é negativa ( é decrescente) .
Derivando, temos:
Logo, é crescente para todo .
Passo 6
Vamos verificar a existência de máximos e mínimos! Para isso calcularemos agora os pontos críticos, números em que ou .
Aplicando o Teste da Derivada, se muda de positiva para negativa em um número crítico , então é um máximo local. Se muda de negativa para positiva em , então é um mínimo local. Temos que:
Do passo anterior sabemos que cresce antes e depois dos pontos críticos.
Passo 7
Calcularemos agora a concavidade da função utilizando . Se a função é côncava para cima e se a função é côncava para baixo.
Assim temos que:
Então é côncava para baixo com no intervalo de e e côncava para cima com nos intervalos .
Pontos de inflexão ocorrem na mudança de concavidade, isto é quando for igual a zero.
Portanto teremos um ponto de inflexão quando .
Passo 8
Finalmente podemos esboçar a curva! Vamos fazer um breve resuminho de tudo que descobrimos sobre ela:
- ;
- A curva intercepta os eixos em
- A curva será par;
- Não temos assíntotas;
- A curva cresce para todo ;
- Não existe pontos de máximo ou mínimo;
- é côncava para baixo com no intervalo de e e côncava para cima com nos intervalos , ponto de inflexão em .
Por fim, esboçando a curva obtemos: