Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:

y = (4 - x^2)^5

Passo 1

Opa! Bora resolver essa questão?! O enunciado nos da uma função:

y = (4 - x^2)^5

E pede pra a gente traçar essa curva, utilizando os guias desta secção do livro. Aqui não tem muito mistério, vamos seguir uma receitinha de bolo!

Pra matar o primeiro item do roteiro, temos que definir o domínio D de f , isto é, o conjunto dos valores de x para os quais f ( x ) está definida. Nossa função é polinomial, portanto:

D = I R

Passo 2

Agora devemos definir as intersecções com os eixos. Para o eixo y temos x = 0 :

f (0) = (4 - 0^2)^5 = 1024

Para o eixo x teremos f (x) = 0 :

0 = (4 - x^2)^5 => 4 - x^2 = 0 => x = +- 2

Passo 3

Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:

f (- x) = f (x) -> f u n ç ã o p a r

f (- x) = - f (x) -> f u n ç ã o í m p a r

f (x + p) = f (x) -> f u n ç ã o p e r i ó d i c a

Para esta função, tomando x = 1 :

f (- 1) = f (1) => (4 - (- 1)^2)^5 = (4 - (1^2))^5 => 243 = 243

f (- 1) = - f (1) => (4 - (- 1)^2)^5 = - (4 - (1^2))^5 => 243 != - 243

A função é polinomial, então ela não possui período! Mas vimos que a condição de função par foi satisfeita. Isso significa que o lado positivo do eixo x é o “espelho” do lado negativo.

Passo 4

Temos que verificar também a existência de assíntotas, mas como nossa função é polinomial e não aparece nenhum x no denominador, não precisamos nos preocupar com isso. Não há assíntotas!

Passo 5

O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos f ' ( x ) e encontramos os intervalos nos quais f ' ( x ) é positiva ( f é crescente) e os intervalos nos quais f ' ( x ) é negativa ( f é decrescente) .

Derivando, temos:

y = (4 - x^2)^5

f^' (x) = 5 (4 - x^2) xx 2 x

f^' ( x ) = 10 x (4 - x^2) > 0

Logo, f é crescente para todo x .

Passo 6

Vamos verificar a existência de máximos e mínimos! Para isso calcularemos agora os pontos críticos, números c em que f ' (c) = 0 ou f^' (c) n ã o e x i s t e .

Aplicando o Teste da Derivada, se f ' ( x ) muda de positiva para negativa em um número crítico c , então f ( c ) é um máximo local. Se f ' ( x ) muda de negativa para positiva em c , então f ( c ) é um mínimo local. Temos que:

f^' (x) = 10 x (4 - x^2) = 0

x = 0

4 - x^2 = 0

x = +- 2

Do passo anterior sabemos que x cresce antes e depois dos pontos críticos.

Passo 7

Calcularemos agora a concavidade da função f utilizando f ' ' ( x ) . Se f^(' ') (x) > 0 a função é côncava para cima e se f^(' ') (x) < 0 a função é côncava para baixo.

Assim temos que:

f^(' ') (x) => (10 x ( 4 - x^2)^'

f^(' ') (x) = 10 (4 - x^2) - 20 x^2

f^(' ') (x) = 40 - 10 x^2 - 20 x^2

f^(' ') ( x ) = 40 - 30 x^2 < 0

Então f é côncava para baixo com x no intervalo de ( - oo , - 2 ) e ( 2 , oo ) e côncava para cima com x nos intervalos ( - 2,2 ) .

Pontos de inflexão ocorrem na mudança de concavidade, isto é quando f ’ ’ ( x ) for igual a zero.

- 3 0 x^2 + 40 = 0

- 3 x^2 + 4 = 0

x = +- (2 sqrt(3))/(3)

Portanto teremos um ponto de inflexão quando x = +- (2 sqrt(3))/(3) .

Passo 8

Finalmente podemos esboçar a curva! Vamos fazer um breve resuminho de tudo que descobrimos sobre ela:

  • D = I R ;
  • A curva intercepta os eixos em (0,1024) , (2,0) , (- 2,0)
  • A curva será par;
  • Não temos assíntotas;
  • A curva cresce para todo x ;
  • Não existe pontos de máximo ou mínimo;
  • f é côncava para baixo com x no intervalo de ( - oo , - 2 ) e ( 2 , oo ) e côncava para cima com x nos intervalos ( - 2,2 ) , ponto de inflexão em x = +- (2 sqrt(3))/(3) .

Por fim, esboçando a curva obtemos:

Resposta

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