Enunciado

Esboce o gráfico das funções racionais nos Exercícios 85-102.

87-

y = x 4 + 1 x 2

Passo 1

Note que a função tem assíntota em x = 0 pois o denominador da função só tem a parcela x 2 , sendo 0 o único valor possível.

Fazendo os limites da função para acharmos seus valores limites para x = 0 e tendendo a ± ∞ temos:

Para x → 0 indo pela esquerda

lim x → 0 - ⁡ x 4 + 1 x 2 = 1 0 - 2 = + ∞

Note que por x 4 não fazer muita diferença na equação aproximamos a função para 1 x 2 e que vindo pela esquerda acaba indo para + ∞ , podemos além de dizer que ela vai para esse local essa função para valores muito baixos acaba sendo cada vez mais próximo de 1 x 2 .

Agora indo pela direita.

lim x → 0 + ⁡ x 4 + 1 x 2 = 1 0 + 2 = + ∞

Agora fazendo limite para infinito:

lim x → ∞ ⁡ x 4 + 1 x 2 = ∞   ∞

Fazendo L’Hopital:

Como x não pode ser 0.

lim x → ∞ ⁡ 4 x 3 2 x = 2 x 2 = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ 4 x 3 2 x = 2 x 2 = + ∞

Podemos dizer que para valores próximos a infinito a função se aproxima de x 2 isso se dá pois podemos escrever a função y da seguinte forma, já que não podemos ter o valor x = 0

y = x 2 + 1 x 2

Se fizermos limite de x → ∞ vemos que somente a parcela x 2 influencia, logo podemos ignorar as constantes . E ambos os extremos tendem a + ∞

Passo 2

Fazendo a primeira derivada da função temos:

y ' = x 4 + 1 ' x 2 - ( x 4 + 1 ) ( x 2 ) ' x 4 = 4 x 3 x 2 - ( 2 x ) ( x 4 + 1 ) x 4

y ' = 4 x 5 - 2 x 5 - 2 x x 4

Como não temos x = 0 podemos cortá-lo

y ' = 2 x 4 - 2 x 3

Temos pontos críticos reais em x = ± 1 , pois são os valores onde y ' é 0.

Agora fazendo a segunda derivada.

y ' ' = 2 x 4 - 2 ' x 3 - ( 2 x 4 - 2 ) ( x 3 ) ' x 6 = 8 x 6 - ( 2 x 4 - 2 ) ( 3 x 2 ) x 6

y ' ' = 8 x 6 - 6 x 6 + 6 x 2 x 6 = 2 x 6 + 6 x 2 x 6

Cortando

y ' ' = 2 x 4 + 6 x 4

Logo não temos raízes reais que nos dê pontos de inflexão.

Passo 3

Arrumando nossos intervalos temos:

Pontos de teste: -2, -0.5, 0.5, 2

Resposta

Onde a linha verde é a função, a vermelha é x 2 e a azul 1 x 2

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