Enunciado

Esboce o gráfico das funções racionais nos Exercícios 85-102.

93-

y = x 2 x + 1

Passo 1

Pelo denominador da função, a mesma aparenta ter assíntota vertical em x = - 1 .

Se dividirmos a função na mão encontraremos resto 1 e resultado da divisão igual a x - 1 então podemos escrever ela como:

y = x - 1 + 1 x + 1

Vamos fazer os limites da função tendendo ao valor da assíntota e de infinito para ver seu comportamento nos extremos:

Para menos infinito:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 x + 1 = ∞ - ∞

Caso de indeterminação ∞ ∞ vamos fazer Lhopital:

lim x → - ∞ ⁡ 2 x 1 = - ∞

Da segunda equação também podemos dizer que a equação tende a reta y = x - 1 uma vez que a parcela 1 x + 1   tende a zero.

Como o sinal de infinito influenciou nessa resposta temos que fazer para mais infinito também :

lim x → ∞ ⁡ x 2 x + 1 = ∞ ∞

Caso de indeterminação , aplicar L’Hopital

lim x → ∞ ⁡ 2 x 1 = ∞

Da segunda equação também podemos dizer que a equação tende a reta y = x - 1 uma vez que a parcela 1 x + 1   tende a zero.

Agora vamos fazer perto de x = - 1

Indo pela esquerda:

lim x → - 1 - ⁡ x 2 x + 1 = 1 0 - = - ∞

Indo pela direita:

lim x → - 1 + ⁡ x 2 x + 1 = 1 0 + = + ∞

O que configura x = - 1 como uma assíntota vertical de fato.

Passo 2

Feito o comportamento nos extremos vamos derivar a função para encontrar seus pontos críticos:

y ' = x 2 ' x + 1 - ( x 2 ) ( x + 1 ) ' x + 1 2

y ' = 2 x x + 1 - x 2 x + 1 2

y ' = x 2 + 2 x x + 1 2

Zerando o numerador de y ' encontramos os pontos críticos iguais a: x = 0 e x = - 2

Fazendo agora a segunda derivada da função temos:

y ' ' = x 2 + 2 x ' x + 1 2 - x 2 + 2 x ( x + 1 2 ) ' x + 1 4

y ' ' = 2 x + 2 x + 1 2 - x 2 + 2 x 2 ( x + 1 ) x + 1 4

y ' ' = x + 1 × 2 x + 2 x + 1 - 2 x 2 - 4 x x + 1 4

y ' ' = 2 x + 1 3

Então não temos pontos de inflexão

Passo 3

Organizando os intervalos temos:

Ponto de teste: -3,-1.5, -0.5 ,1

y ' = x 2 + 2 x x + 1 2

y ' ' = 2 x + 1 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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