Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva

y = x (ln (x))^2

Passo 1

Pra começar, vamos encontrar o domínio da função.

y = x (ln (x))^2

Repare que a única restrição que temos é com relação ao ln (x) , pois o logaritmando deve ser positivo. Assim,

x > 0

Logo, o domínio da nossa função será x > 0 .

Passo 2

Agora vamos ver como fica nossa função em alguns pontos:

f (x) = x (ln (x))^2

Se x = 1 :

f (1) = 1 * (ln (1))^2 = 0

Passo 3

Para analisarmos a simetria. É importante vermos se nossa função é ímpar ou par. Então vem comigo:

f (x) = x (ln (x))^2

Vamos ver como fica o f ( - x ) :

f (- x) = - x (ln (- x))^2

Com isso, vemos que f (x) != - f (- x) e f ( x ) != f (- x) . Portanto, nossa função não será ne par nem ímpar.

Passo 4

Seguindo o roteiro, chegamos à tarefa de analisar as assíntotas.

  1. Assíntota horizontal:

L = underset(x -> oo)(lim) x (ln (x))^2

Logo,

L = oo

Então, vemos que não teremos nenhuma assíntota horizontal.

Passo 5

Para acharmos os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que achar f ' ( x ) .

f (x) = x (ln (x))^2

Derivando,

f^' (x) = (ln (x))^2 + x * (2 ln (x) * (1)/(x))

Logo,

f^' (x) = (ln (x))^2 + 2 ln (x)

Para f^' (x) > 0 :

ln (x) (ln (x) + 2) > 0

Resolvendo a inequação:

x > 1 ou x < (1)/(e^2)

Logo, nossa função será crescente no intervalo acima.

Para f^' (x) < 0 :

ln (x) (ln (x) + 2) < 0

Resolvendo a inequação:

(1)/(e^2) < x < 1

Assim, nossa função será decrescente no intervalo acima.

Passo 6

Agora temos que achar os valores máximo e mínimos. Para isso, vamos fazer f^' (x) = 0 :

f^' (x) = ln (x) (ln (x) + 2)

Logo,

ln (x) (ln (x) + 2) = 0

Resolvendo, temos:

x = 1 ou x = (1)/(e^2)

Passo 7

Para terminar, basta analisarmos as concavidades da curva. Para isso, vamos ver o sinal de f ' ' .

f^' (x) = (ln (x))^2 + 2 ln (x)

Derivando,

f^(' ') (x) = (2 ln (x))/(x) + (2)/(x)

Para f^(' ') (x) > 0 :

(2 ln (x))/(x) + (2)/(x) > 0

Logo,

(ln (x) + 1)/(x) > 0

Resolvendo a inequação:

x > (1)/(e)

Isso quer dizer que nossa curva terá concavidade para cima no para x > (1)/(e) .

Para f^(' ') (x) < 0 :

(2 ln (x))/(x) + (2)/(x) < 0

Logo,

(ln (x) + 1)/(x) < 0

Resolvendo:

x < (1)/(e)

Portanto, nossa curva terá concavidade para baixo no para x < (1)/(e) .

Passo 8

Pra finalizar, basta esboçarmos o gráfico de f :

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine os valores das constantes a ,b e c , de modo que o gráfico de y = x 2 + a ( b x + c ) tenha um mínimo local em x = 3 , um mínimo local em - 1 , - 2 .
Represente graficamente a equação seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflex
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