Enunciado

Esboce o gráfico do integrando e use áreas para calcular a integral

∫ - 2 4 x 2 + 3   d x

Passo 1

A integral da nossa questão será resolvida através da associação com a área entre a nossa curva e o eixo X. Precisamos então esclarecer alguns pontos para que possamos resolvê-la. Eles são: os limites do eixo X e qual o comportamento da nossa função neste intervalo.

Passo 2

Vamos começar por determinar o intervalo de análise. O intervalo será dado por [ a , b ] , em que a é o limite inferior da nossa integral e b o limite superior. Desta forma, temos:

a = - 2

b = 4

Passo 3

Vamos obter agora o gráfico da nossa função. Portanto, temos:

Em destaque temos a área da região que devemos calcular, à qual possui a forma de um trapézio retangular.

Passo 4

A área de um trapézio é:

A = B a s e m a i o r + B a s e m e n o r ⋅ h 2

A altura do nosso trapézio é o comprimento do intervalo de integração. Isto é:

h = 4 - - 2 = 6

Já as bases maior e menor é a interseção de f x = x 2 + 3 com as retas x = 4 e x = - 2 , respectivamente. Portanto, obtemos os seguintes valores:

B a s e m a i o r = 4 2 + 3 = 5

B a s e m e n o r = - 2 2 + 3 = 2

Calculando a área, temos:

A = 5 + 2 ⋅ 6 2 = 21

Logo,

∫ - 2 4 x 4 + 3   d x = 21

Resposta

∫ - 2 4 x 4 + 3   d x = 21

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