Enunciado

Expresse a medida da área exata da região pelo Limite da Soma de Riemann e Integral . E depois, Calcule essa área.

Limitada pela reta y = 4 - x² , pelo eixo x e pelas retas x = 2 e x = 1

Passo 1

Soma de Riemann

∑ i = 1 n f x i ∆ x i  

lim ∆ x → 0 ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x i =   ∫ a b f ( x ) d x

Propriedade de integral

∫ b a f x   d x     = F a - F b

∫ b a f x + g   x   d x =   ∫ b a f x   d x     +   ∫ b a g x   d x      

  ∫   x n =   x n + 1 n + 1    

Passo 2

Queremos a área embaixo da curva e limitada pelo intervalo de x ∈   [2 ,1 ]

Então essa área pode ser expressa como :

lim ∆ x → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( 4 - x ² i ) ∆ x i =   ∫ 1 2 4 - x ² d x

Passo 3

Calculando A área por integração :

∫ 1 2 4 - x ² d x =   ( 4 x - 1 3 x ³ ) x = 1 2  

= 4   .   2 - 1 3 2 3 - 4 - 1 3

= 5/3

Resposta

∫ 1 2 4 - x ² d x = 5 3

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