Enunciado

Esboce o gráfico do integrando e use áreas para calcular a integral

∫ - 4 0 16 - x 2   d x

Passo 1

A integral da nossa questão será resolvida através da associação com a área entre a nossa curva e o eixo X. Precisamos então esclarecer alguns pontos para que possamos resolvê-la. Eles são: os limites do eixo X e qual o comportamento da nossa função neste intervalo.

Passo 2

Vamos começar por determinar o intervalo de análise. O intervalo será dado por [ a , b ] , em que a é o limite inferior da nossa integral e b o limite superior. Desta forma, temos:

a = - 4

b = 0

Passo 3

Vamos obter agora o gráfico da nossa função. Portanto, temos:

Em destaque temos a área da região que devemos calcular, à qual possui a forma de um semicírculo de raio 4 e centro na origem O = ( 0,0 ) . Poderíamos ter percebido que o mesmo corresponde a um semicírculo se fizermos y = 16 - x 2 . Se elevarmos ambos os membros ao quadrado, obtemos:

y 2 = 16 - x 2

x 2 + y 2 = 16

Logo, temos a equação de uma circunferência. Só que como y > 0 , pois é dado por uma raiz quadrada, só podemos pegar a parte de cima da nossa circunferência! Além disto, o valor de x varia no intervalo de - 4 , 0 . Juntando as duas informações, isto é, a parte de cima da circunferência e o valor de x variando no intervalo de - 4 a 0 , temos apenas 1/4 de um círculo! E agora? Fica fácil de visualizar, né?

Passo 4

A área de um círculo é:

A = π r 2

Sabendo que o raio é r = 4 e que a nossa figura corresponde a um quarto de um círculo, a sua área é:

A = π ⋅ 4 2 4 = 4 π

Logo,

∫ - 4 0 16 - x 2   d x = 4 π

Resposta

∫ - 4 0 16 - x 2   d x = 4 π

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