Enunciado

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Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.

y = sen ⁡ 2 x ,   y = x + 2 ,   x = 0   e   x = π / 2

Passo 1

Devemos começar as questões que pedem para calcularmos a área de uma região sempre pelo esboço dessa região. Se não esboçarmos ele, não conseguiremos compreender a integral que devemos calcular. Sendo assim, vejamos a região abaixo:

Como esta região é limitada acima e abaixo por uma curva, a área é dada pela seguinte integral:

A = ∫ 0 π / 2 x + 2 - sen ⁡ 2 x d x

Passo 2

Agora que conseguimos escrever a integral que nos dá a área, só nos resta calculá-la. Portanto, temos:

∫ 0 π / 2 - sen ⁡ 2 x + x + 2 d x

cos ⁡ 2 x 2 + x 2 2 + 2 x 0 π / 2

- 1 2 + π 2 8 + π - 1 2 + 0 + 0 = π 2 8 + π - 1

Portanto, a área da nossa região é:

A = π 2 8 + π - 1 u . a .

Resposta

A = π 2 8 + π - 1 u . a .

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