Enunciado

Esboce a região delimitada pelas curvas fornecidas e encontre sua área.

y = sec 2 ⁡ x ,     y = 8 ⋅ cos ⁡ x ,   - π / 3 ≤ x ≤ π / 3

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom.. a questão nos pede para esboçar a região delimitada pelas seguintes curvas no intervalo - π / 3 ≤ x ≤ π / 3 :

y = sec 2 ⁡ x

E

  y = 8 ⋅ cos ⁡ x

Para isso, devemos calcular os pontos de interseção entre as duas curvas.

A questão também nos pede para calcular a área.

Em outras palavras, iremos utilizar a seguinte definição de área S :

S = ∫ a b f x - g x d x

Onde essa área S é representada na seguinte figura:

Dessa forma, devemos encontrar primeiro a interseção das curvas para prosseguirmos com o cálculo da área S .

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Para esboçarmos a região delimitada pelas curvas vamos esboçar ambas as curvas em um mesmo gráfico e, assim, vamos obter

Resta-nos saber onde é que essas curvas vão se interceptar e para isso vamos igualar suas equações fazendo

sec 2 ⁡ x = 8 ⋅ cos ⁡ x ∴

1 cos 2 ⁡ x = 8 ⋅ cos ⁡ x ∴

1 8 = cos 3 ⁡ x ∴

cos ⁡ x = 1 8 3 ∴

cos ⁡ x = 1 2

Para o intervalo dado vamos ter como solução x = - π / 3   e   x = π / 3 , ou seja:

Passo 3

Agora, para encontrarmos a área da região delimitada pelas curvas precisamos calcular a integral da função que está por cima menos a função que está por baixo e os limites de integração serão dados pelos valores de x do intercepto das curvas. Então, teremos

S = ∫ - π 3 π 3 8 ⋅ cos ⁡ x - sec 2 ⁡ x d x ∴

S = 8 ⋅ sin ⁡ x - tan ⁡ x - π 3 π 3 ∴

S = 2 ⋅ 8 ⋅ 3 2 - 3 ∴

S = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ∴

S = 6 3

Resposta

6 3

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