Enunciado

Esboce a região delimitada pelas curvas fornecidas e encontre sua área.

y = sinh ⁡ x ,   y = e - x ,   x = 0 ,   x = 2

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom.. a questão nos pede para esboçar a região delimitada pelas seguintes curvas entre os pontos x = 0 e x = 2 :

y = sinh ⁡ x

E

y = e - x

Para isso, devemos calcular os pontos de interseção entre as duas curvas.

A questão também nos pede para calcular a área.

Em outras palavras, iremos utilizar a seguinte definição de área S :

S = ∫ a b f x - g x d x

Onde essa área S é representada na seguinte figura:

Dessa forma, devemos encontrar primeiro a interseção das curvas para prosseguirmos com o cálculo da área S .

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Para esboçarmos a região delimitada pelas curvas vamos esboçar ambas as curvas em um mesmo gráfico e, assim, vamos obter

Para encontrar a área da região delimitada pelas curvas nesse caso, vamos ter que separar em duas partes haja vista que em um pedaço do gráfico temos uma função por cima e em uma outra parte outro gráfico está por cima.

Assim, devemos primeiramente encontrar o valor do ponto de intersecção entre as curvas igualando as suas equações obtendo

sinh ⁡ x = e - x ∴

e x - e - x 2 = e - x ∴

e x - e - x = 2 e - x ∴

e x - 3 e - x = 0 ∴

e 2 x - 3 e x = 0 ∴

e 2 x - 3 = 0 ∴

e 2 x = 3 ∴

2 x = ln ⁡ 3 ∴

x = ln ⁡ 3 2

Passo 3

Assim, nossa integral vai ser dividida em 2 intervalos: de 0 a ln ⁡ 3 2 e de ln ⁡ 3 2 a 2 .

Então, nossa área S vai ser

S = ∫ 0 ln ⁡ 3 2 e - x - sinh ⁡ x d x + ∫ ln �� 3 2 2 sinh ⁡ x - e - x d x

S = ∫ 0 ln ⁡ 3 2 e - x - e x - e - x 2 d x + ∫ ln ⁡ 3 2 2 e x - e - x 2 - e - x d x

S = ∫ 0 ln ⁡ 3 2 e - x - e x 2 + e - x 2 d x + ∫ ln ⁡ 3 2 2 e x 2 - e - x 2 - e - x d x

S = ∫ 0 ln ⁡ 3 2 e - x - e x 2 + e - x 2 d x + ∫ ln ⁡ 3 2 2 e x 2 - e - x 2 - e - x d x

S = ∫ 0 ln ⁡ 3 2 e - x 2 - e x 2 d x + ∫ ln ⁡ 3 2 2 e x 2 - 3 e - x 2 d x

S = - e - x 2 - e x 2 0 ln ⁡ 3 2 + e x 2 + 3 e - x 2 ln ⁡ 3 2 2

S = ≈ 0,267949 + 2,165480

S = ≈ 2,433429 ‬

Resposta

2,433429

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área sob o gráfico de f x = 5 x - x 2 , acima do intervalo [ 0 ,5 ] usando a Definição 5.4 . 3 , tomando x k * como sendo a extremidade direita de cada subintervalo.
7-18 Esboce a região englobada pelas curvas e encontra a área9. y = cos ⁡ 2 x , y = 0 , x = π 4 , x = π 2
7-18 Esboce a região englobada pelas curvas e encontra a área10. y = sec 2 ⁡ x , y = 2 , x = - π 4 , x = π 4
19-26.Use um recurso gráfico computacional, quando necessário, para encontra a região englobada pelas curvas.21. y = sin ⁡ x ,y = cos ⁡ x , x = 0 , x = 2 π
7-18 Esboce a região englobada pelas curvas e encontra a área14. x = 1 y , x = 0 , y = 1 , y = e