Enunciado

Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou y. Desenhe um retângulo aproximante típico e identifique sua altura e largura. Então, calcule a área da região.

y = sin ⁡ x ,   y = 2 π   x , x ≥ 0

Passo 1

Vamos por partes que aqui tem trabalho, hein? Primeiramente, esboçar a região delimitada pelas curvas. Tá, mas como faz isso? Assim:

Olha, tem funções que de cara já da pra saber o que ela vai ser. Por exemplo, a função y = sin ⁡ x , sabemos que ela tem um comportamento especifico sendo positiva em π 2 e 3 π 2 .

Já a função   y = 2 π   x , é uma reta que passa pela origem.

Então, o nosso gráfico vai ser desse jeitinho:

Por ele, podemos observar que essas funções interceptam o ponto ( 0,0 ) e o ponto ( π 2 , 1 ) .

Se extrairmos uma parte desse retângulo, vamos ter que a altura será a diferença entre as curvas e a largura será a variação de x. Assim:

Okay? Agora é só calcularmos a área!!

Passo 2

E os intervalos? Então, a questão já nos deu os valores que são de x, assim temos:

A = ∫ 0 π 2 [ sin ⁡ x - 2 π   x ] d x

Daí é só calcular a integral normalmente!!

A = - cos ⁡ x - 1 π x 2 0 π 2

A = - cos ⁡ π 2 - 1 π ( π 2 ) 2 - - cos ⁡ 0 - 1 π 0 2

A = 0 - 1 π ( π 2 4 ) - - 1

A nossa integral é

A = 1 - π 4

Resposta

A = 1 - π 4

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