Enunciado

Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.

y = x - 1 , x - y = 1

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos dá as curvas:

y = x - 1 , x - y = 1

Temos uma função raiz y = x - 1 com a raiz x = 1 e uma reta, que podemos colocar y em evidência:

x - y = 1 → y = x - 1

Podemos calcular quando a reta intercepta x e y :

x = 0 → y = - 1

y = 0 → x = 1

Além disso podemos calcular o ponto onde a curva e a reta se interceptam:

x - 1 = x - 1

Elevando os dois lados ao quadrado:

x - 1 = x - 1 2

x - 1 x - 1 2 = 1

1 x - 1 = 1

x - 1 = 1 → x = 2

Qando x = 1 temos que:

1 - 1 = 1 - 1

Então as curvas também vão se interceptar nesse ponto! Agora podemos esboçar o gráfico:

Onde a curva azul é y = x - 1 e a curva vermelha é y = x - 1 .

Passo 2

Agora vamos montar a integral! A área que vamos calcular vai ser dada pela subtração entre a curva vermelha e a curva azul e os limites de integração serão os pontos de intersecção que calculamos! Temos então:

A = ∫ a b f x - g x d x

A = ∫ 1 2 x - 1 - ( x - 1 ) d x

A = ∫ 1 2 x - 1 - x + 1 d x

A = ∫ 1 2 x - 1 1 / 2   d x ∫ 1 2 - x + 1   d x

A primeira integral a gente pode resolver por substituição, fazendo:

u = x - 1

d u d x = 1 → d x = d u

∫ 1 2 x - 1 1 2   d x = ∫ 1 2 u 1 2   d x = 2 3 x - 1 3 2 1 2

Agora a segunda parte:

∫ 1 2 - x + 1   d x = - x 2 2 + x 1 2

Juntando e aplicando os intervalos de integração:

A = 2 3 x - 1 3 2 - 1 2 x - 1 2 1 2

A = 2 3 - 1 2

Então:

A = 1 6

Prontinho!

Resposta

A = 1 6

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Ache a área da região limitada pela curva y = s e nx , pela reta y = 1 e pelo eixo y à direita do eixo y.
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