Enunciado

Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.

x = y 4 , y = 2 - x , y = 0

Passo 1

De inicio, vamos representar o gráfico:

Fazendo a interseção das equações, podemos reorganizar os termos. A função y = 2 - x pode ser:

y 2 = 2 - x

Ou...

x = 2 - y 2

Assim, substituindo na primeira equação:

y 4 = 2 - y 2

y 4 + y 2 - 2 = 0

Podemos escrever também da seguinte forma:

( y 2 + 2 ) ( y 2 - 1 ) = 0

y = 1  

Esse será o nosso intervalo de integração. Agora podemos calcular a área!!

Passo 2

A = ∫ 0 1 [ ( 2 - y 2 ) - y 4 ] d y

Resolvendo essa integral:

A = 2 y - y 3 3 - y 5 5 0 1

A = [ 2 ( 1 ) - 1 3 3 - 1 5 5 ]

Então,

A = 22 15

Resposta

A = 22 15

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