Enunciado

Esboce a região limitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Desenhe um retângulo típico de aproximação e coloque sua altura e largura. Entao calcule a área da região.

16. y = 8 - x 2 ,     y = x 2 ,   x = - 3 ,   x = 3

Passo 1

Olá, meu querido e belo amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Iremos resolver uma integral para que possarmos calcular a área da região delimitada pelas duas curvas.

Esboçando as curvas vamos ter que a área entre elas é essa:

Perceba que a área entre as funções na parte negativa de x é igual a área entre as funções na parte positiva do eixo x , então podemos simplesmente integrar a parte positiva e multiplicar essa área por 2.

Para integrar a parte positiva podemos integrar separademente a área vermelha e a parte azul e somar os valores que encontrarmos para cada região.

Podemos realizar as integrações em relação a x dessa forma:

Passo 2

Aquele tamanho y vai ser a diferença entre ( 8 - x 2 ) e x 2 , é a altura do nosso retângulo, quando integrarmos a parte vermelha, e entre x 2 e ( 8 - x 2 ) , quando integrarmos a parte azul, então a integral para descobrir a área fica:

A = 2 ⋅ ∫ 0 2 8 - x 2 - x 2 d x + ∫ 2 3 x 2 - 8 - x 2 d x

Fazendo as somas dentro das integrais:

A = 2 ⋅ ∫ 0 2 8 - 2 x 2 d x + ∫ 2 3 2 x 2 - 8 d x

São integrais de polinômios que ficam fáceis de resolver, só somar um no expoente e deixar dividindo pelo expoente cada termo:

A = 2 ⋅ 8 x - 2 x 3 3 0 2 + 2 x 3 3 - 8 x 2 3

Aplicando os limites de integração:

A = 2 ⋅ 8 2 - 2 2 3 3 + 2 ( 3 ) 3 3 - 8 ( 3 ) - 2 ( 2 ) 3 3 - 8 ( 2 )

A = 2 ⋅ 16 - 16 3 + 54 3 - 24 ) - 16 3 - 16

A = 2 ⋅ 16 - 24 + 16 - 16 3 + 54 3 - 16 3

A = 2 ⋅ 8 + 22 3

Tirando o mínimo múltiplo comum:

A = 2 ⋅ 24 + 22 3

A = 92 3

Resposta

A = 92 3

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