Determine o centro de massa da região A dada

A = {(x, y) ∈ R^2 | x^2 ≤ y ≤ x}

Passo 1

Primeiro, vamos pegar as inequações e isolar o y

y = f ( x ) = x 2

y = g ( x ) = x

Passo 2

Agora é só substituir nas fórmulas de centro de massa. Os limites de integração são dados pelas interseções entre as funções, ou seja, [0,1]

Para x c

x c = ∫ a b x [ f x - g x ]   d x ∫ a b [ f x - g x ] d x

x c = ∫ 0 1 x ( x 2 - x )   d x ∫ 0 1 f ( x 2 - x )   d x

Resolvendo essas integrais vamos ter x c = 1 2

Passo 3

Para y c

y c = 1 2 ∫ a b ( f x - g x ) ( f x + g x ) d x ∫ a b [ f x - g ( x ) ] d x

y c = 1 2 ∫ 0 1 ( x 2 - x ) ( x 2 + x )   d x ∫ 0 1 [ x 2 - x ] d x

y c = 1 2 ∫ 0 1 x 4 - x 2 d x ∫ 0 1 [ x 2 - x ] d x

Resolvendo essas integrais temos que y c = 6 15

Resposta

x c = 1 2

y c = 6 15

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