Enunciado

Determine a área da superfície.

A superfície z = 2 3 ( x 3 / 2 + y 3 / 2 ) , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 .

Passo 1

Precisamos lembrar primeiramente como calculamos a área de uma superfície. Para isto, basta resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Portanto, precisamos calcular primeiramente as derivadas parciais de z em função de x e de y para só depois resolvermos as integrais.

Passo 2

Vamos determinar primeiramente as derivadas parciais da função z = f x , y . Sendo assim

∂ z ∂ x = x

∂ z ∂ y = y

Portanto, devemos resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + x 2 + y 2 d A = ∬ D 1 + x + y d A

Passo 3

Agora, como temos uma região retangular, pelo Teorema de Fubini, tanto faz a ordem de integração. Portanto, vamos resolver a seguinte integral:

A S = ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 + x + y d x d y

A S = ∫ 0 1 2 3 ⋅ 1 + x + y 3 2 0 1 d y

A S = ∫ 0 1 2 3 ⋅ 2 + y 3 / 2 - 1 + y 3 / 2 d y

A S = 2 3 ⋅ 2 5 ⋅ 2 + y 5 2 - 1 + y 5 2 0 1  

A S = 4 15 ⋅ 9 3 - 8 2 + 1

Resposta

A S = 4 15 ⋅ 9 3 - 8 2 + 1

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