Enunciado

Para um escoamento no plano x y , a componente em x da velocidade é dada por 2 x y + x 2 + y 2 . Determinar uma possível componente em y para escoamento incompressível.

Passo 1

Queremos encontrar uma componente da velocidade do escoamento em y de modo que o escoamento seja incompressível. Matematicamente falando

v → = 2 x y + x 2 + y 2 i → + v 2 j →

Em que, precisamos que div ⁡ v → = 0 para que o escoamento seja incompressível. Isso é porque, pela equação da continuidade

div ⁡ u → + ∂ ρ ∂ t = 0

∂ ρ ∂ t = - div ⁡ u →

o fluido será incompressível se div ⁡ u → = 0 .

Passo 2

Queremos que div ⁡ v → = 0 , então basta fazermos o seguinte:

div ⁡ v → = ∂ v 1 ∂ x + ∂ v 2 ∂ y

Aplicando a formula cima em v → e igualando a 0 temos:

∂ ∂ x 2 x y + x 2 + y 2 + ∂ ∂ y v 2 = 0

2 y + 2 x + ∂ v 2 ∂ y = 0

∂ v 2 ∂ y = - 2 y - 2 x

Passo 3

Pra encontrar v 2 podemos integrar a expressão acima.

∂ v 2 = - 2 y - 2 x ∂ y

∫ ∂ v 2 = ∫ - 2 y - 2 x ∂ y

v 2 = - y 2 - 2 x y + c x

Onde c x é uma função arbitrária.

Assim temos que:

v → = 2 x y + x 2 + y 2 i → + - y 2 - 2 x y + c x j →

Resposta

v → = 2 x y + x 2 + y 2 i → + - y 2 - 2 x y + c x j →

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