Enunciado

7. Sejam F 1 e F 2 funções com derivadas parciais continuas no plano xy tais que

∂ F 2 ∂ x = ∂ F 1 ∂ y

Em R² exceto nos pontos 4,0 ,   0,0   ,   - 4,0 . Indique por C 1 ,   C 2 ,   C 3 ,   C 4 as circunferenciais de equações

x - 2 2 + y 2 = 9

x + 2 2 + y 2 = 9

x 2 + y 2 = 25

x 2 + y 2 = 1

Respectivamente, orientadas no sentido anti – horário. Sabendo que

∮ C 1 F 1 d x + F 2 d y = 11

∮ C 2 F 1 d x + F 2 d y = 9

∮ C 3 F 1 d x + F 2 d y = 13

Calcule

∮ C 4 F 1 d x + F 2 d y

Passo 1

Oii, estamos ingressando no mundo dos teoremas de integração de cálculo. E nessa parte da matéria temos que aprender que existem muitas respostas diferentes utilizando caminhos diferentes como é neste caso de integração de linha. OU várias formas de se calcular que geram o mesmo resultado!

Sim, você ouviu certo. Vão ter contas que podemos fazer por ate 3 caminhos diferentes. Então a pergunta é : qual escolher? Segue vendo as nossas resoluções que vamos te dar umas dicas.

Passo 2

Neste capítulo trabalhamos conceitos de funções vetoriais, Teorema de Green e Campo conservativo. Vamos ter que lançar mãos de tudo isso para resolver nossas questões. Bora fazer uma revisão de leve nos teoremas. O Teorema de Green diz

∮ c F 1 d x + F 2 d y   = ∫ ∫ R ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y  

Outra forma de enxergar seria

∮ c F ⋅ d r   = ∫ ∫ R ∇ × F d x d y  

Quando nosso campo é conservativo, acontece que

∇ × F = 0

Podemos fazer o rotacional e descobrir isso, ou por uma simples propriedade de diferenciação saber que

∇ × ∇ U = 0

e quando o nosso campo é conservativo podemos dizer que existe uma função Potencial U, de forma que

∇ U = F

Beleza? É bom fazer essa revisãozinha pra a gente já chegar afiado nas questões!!!!

Passo 3

Outra forma de enxergar esse teorema é dizer que

∮ c F ⋅ d r   = ∫ ∫ R ∇ × F d x d y  

O trabalho ao percorrer a borda é igual ao fluxo que atravessa dentro da região limitada por essa borda. Então quando dizemos

∇ × F = 0 →   ∂ F 2 ∂ x = ∂ F 1 ∂ y

Queremos dizer que não há fluxo que atravessa a região. O diferencial dessa questão é que ela põe exceções – “exceto nos pontos 4,0 ,   0,0   ,   - 4,0 ”. Isso quer dizer que existe fluxo atravessando por esses 3 pontos. Então temos que observar a geometria do nosso sistema

O pontos em azul são nossas excessoes. E os círculos são

Verde → x - 2 2 + y 2 = 9

Azul   → x + 2 2 + y 2 = 9

Vermelho →   x 2 + y 2 = 25

Laranja → x 2 + y 2 = 1

Passo 4

O circulo vermelho é nossa totalidade então dentro dele há o somatório de todos os fluxos

∮ C 3 F 1 d x + F 2 d y = 13

Outra forma de escrever isso é

A + B + C = 13

Agora já o circulo verde cerca apenas A e C

∮ C 1 F 1 d x + F 2 d y = 11

A + C = 11

Agora o circulo azul cerca os pontos A e B

∮ C 2 F 1 d x + F 2 d y = 9

A + B =   9

Lembrando que queremos saber o fluxo do circulo laranja, logo queremos saber o fluxo de C. Podemos fazer um sisteminha

A + B + C = 13

A + C = 11

B + C = 9

Com isso podemos dizer que

C = 7

Logo nossa integral

∮ C 4 F 1 d x + F 2 d y = 7

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∮ C 4 F 1 d x + F 2 d y = 7

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