Enunciado

Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.

r t = < t cos ⁡ 2 t , sin ⁡ 2 t >  

Passo 1

Queremos esboçar o gráfico da seguinte função paramétrica, mostrando a direção em que o parâmetro cresce:

r t = < t , cos ⁡ 2 t , s e n 2 t >

Passo 2

Se r t = < t , cos ⁡ 2 t , s e n 2 t > :

x = t ,     y = cos ⁡ 2 t ,     z = s e n ( 2 t )

Vamos calcular y 2 + z 2 para entender melhor o gráfico:

y 2 + z 2 = cos 2 ⁡ ( 2 t ) + s e n 2 2 t = 1

Então a curva paramétrica está “presa” no cilindro y 2 + z 2 = 1

Levamos em consideração o valor:

x = t

Vemos a curva gira em relação ao eixo x linearmente ao redor do cilindro. É uma hélice.

O gráfico da função é:

Resposta

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Utilize o teorema 10 para encontrar a curvatura. r t = t 3 j + t 2 k
Use a Fórmula 11 para encontrar a curvatura. y = tg ⁡ x
Use a Fórmula 11 para encontrar a curvatura. y = x 4
Use a fórmula do Exercício 42 para calcular a curvatura. x = a cos ⁡ ω t , y = b sen ⁡ ω t
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T ( t ) e N ( t ) . (b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura. r t = t , 1 2 t 2 , t 2