Enunciado

(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T ( t ) e N ( t ) .

(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.

r t = t , 1 2 t 2 , t 2

Passo 1

  1. Primeiro passo é derivar a função r t = t , 1 2 t 2 , t 2  
  2. Note que derivamos termo a termo, assim:

    r ' t = 1 , t , 2 t

    Passo 2

    Agora que temos a derivada, precisamos calcular:

    r '   t

    Isso implica que:

    r ' ( t ) = ( 1 ) 2 + t 2 + 4 t 2

    Isso nos da que:

    r ' ( t ) = 1 + 5 t 2

    Passo 3

    Então,

    T t = r ' t r ' t = 1 1 + 5 t 2 1 , t , 2 t

    Derivando T t temos que:

    T ' t = - 5 t 1 + 5 t 2 3 2 1 , t , 2 t + 1 1 + 5 t 2 0 , 1 , 2 = 1 1 + 5 t 2 3 2 - 5 t , - 5 t 2 , - 10 t 2 + 0,1 + 5 t 2 , 2 + 10 t 2 = 1 1 + 5 t 2 3 / 2 - 5 t , 1,2

    E agora, que temos a derivda, fazemos:

    T ' t = 1 1 + 5 t 2 3 / 2 25 t 2 + 1 + 4 = 1 1 + 5 t 2 3 / 2 25 t 2 + 5 = 5   5 t 2 + 1 1 + 5 t 2 3 / 2 = 5 1 + 5 t 2

    Passo 4

    E então, para calcularmos N ( t ) fazemos:

    N t = T ' t T ' t = 1 + 5 t 2 5 ⋅ 1 1 + 5 t 2 3 2 - 5 t , 1,2 = 1 5 + 25 t 2 - 5 t , 1,2

    Passo 5

  3. Agora, utilizado a formula:

N t = | T ' t | r ' t = 5 ( 1 + 5 t 2 ) 1 + 5 t 2 = 5 1 + 5 t 2 3 / 2

Resposta

5 1 + 5 t 2 3 / 2

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