Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart - Capítulo 13.1 - Ex. 42

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Escreva o enunciado aqui.

Passo 1

Queremos parametrizar a curva que é obtida pela interseção das seguintes superfícies:

x 2 + y 2 = 4 z = x y

Passo 2

Na primeira superfície, temos um cilindro na forma x 2 + y 2 = r 2 = 2 2 . A parametrização dessa curva utilizando o fato que s e n 2 t + cos 2 ⁡ ( t ) = 1 :

x = 2 cos ⁡ t ,   y = 2 s e n ( t )

Assim, se calcularmos x 2 + y 2 , obteremos o valor 4 novamente.

Para obter z , então é só utilizar a seguinte superfície:

z = x y

Lembrando que s e n 2 a = 2 s e n a c o s ⁡ ( a ) :

z = 2 cos ⁡ t 2 s e n t = 4 s e n t cos ⁡ t = 2 s e n ( 2 t )

Agora é só organizar as equações:

r t = < 2 cos ⁡ t , 2 s e n t , 2 s e n 2 t >

Resposta

r t = < 2 cos ⁡ t , 2 s e n t , 2 s e n 2 t >

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