Enunciado

Trace o gráfico da curva com equações paramétricas x = cos ⁡ t , y = sen ⁡ t , z = sen ⁡ 5 t   e calcule a curvatura no ponto ( 1,0 , 0 ) .

Passo 1

O primeiro passo é obter a derivada da curva dada. Temos:

r ' t = - sen ⁡ t , cos ⁡ t ,   cos ⁡ 5 t

A segunda derivada também precisa ser calculada:

r ' ' t = - cos ⁡ t , - sen ⁡ t ,   - 25 sen ⁡ 5 t

Observe que para a função vetorial r t no ponto ( 1,0 , 0 ) temos t = 0 . Portanto, para esse valor de t , temos:

r ' 0 = 0 , 1,5

r ' ' 0 = - 1,0 , 0

Passo 2

Como a primeira e asegunda derivadas já foram calculadas, podemos agora calcular o produto vetorial delas:

r ' 0 × r ' ' 0 = i j k 0 1 5 - 1 0 0 = 0 , - 5,1

Passo 3

O modulo do vetor tangente r ' ( t ) é:

r ' 0 = 0 2 + 1 2 + 5 2

r ' t = 26

Já o modulo do produto vetorial, calculado no passo 2, é:

r ' t × r ' ' t = 26

Passo 4

Substituindo os resultados obtidos nos passos anteriores, dentro da formula do Teorema 10, obtemos a curvatura da função vetorial dada:

k t = r ' 0 × r ' ' 0 r ' 0 3 = 26 26 3 = 1 26

Resposta

1 26

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