Enunciado

Encontre o comprimento da curva com precisão de quatro casas decimais. (Use sua calculadora para aproximar a integral.)

r t = t , e - t , t e - t ,     1 ≤ t ≤ 3

Passo 1

Temos que r t = t , e - t , t e - t , e para encontrarmos o comprimento dessa curva, primeiro passo é derivar a função.

Então, temos que:

r ' t = 1 , - e - t , 1 - t e - t

Passo 2

Feito essa passo, precisamos agora calcular r ' t . Então vamos la!

r ' ( t ) = 1 2 + - e - t 2 + 1 - t e - t 2

Isso nos da que:

r ' ( t ) = 1 + 2 - 2 t + t 2 e - 2 t  

Passo 3

Agora precisamos integrar esse valor que encontramos, ou seja:

L = ∫ a b r ' ( t ) d t

Note que nosso intervalor é:

    1 ≤ t ≤ 3

E que encontramos

r ' ( t ) = 1 + 2 - 2 t + t 2 e - 2 t

Assim,

L = ∫ 1 3 1 + 2 - 2 t + t 2 e - 2 t d t ≈ 2,0454

Resposta

2,0454

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Trace a curva com equações paramétricas x = s e n t , y = s e n 2 t , z = c o s 4 t . Explique sua forma representando por gráficos suas projeções para os três planos coordenados.
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Combine as equações paramétricas com os gráficos (rótulo I-VI). Dê razões para suas escolhas: x = t , y = 1 ( 1 + t 2 ) , z = t 2