Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga P e Q .

P(1,0, 1) Q = (2,3, 1)

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado quer que a gente encontre uma equação vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga os pontos P = 1 ,   0 ,   1   e Q = 2 ,   3 ,   1 .

Pra isso, a gente vai precisar encontrar um vetor diretor P Q , que vai definir a direção das retas. Depois, determinar a equação vetorial da reta na forma:

r t = r 0 + t v

Onde v é o vetor diretor e r 0 é o vetor posição do ponto P .

Daí, a gente vai obter a equação vetorial desse segmento de reta e determinar as equações paramétricas, que são as componentes da equação vetorial:

r t = x t ,   y t ,   z t

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar definindo o vetor diretor P Q , que é o vetor que define a direção da reta. A gente obtém esse vetor subtraindo as coordenadas do ponto inicial ( P ) das coordenadas do ponto final ( Q ):

v = P Q = Q - P

Substituindo as coordenadas dos pontos:

v = 2 ,   3 ,   1 - 1 ,   0 ,   1

v = 2 - 1 ,   3 - 0 ,   1 - 1

E calculando, temos:

v = 1 ,   3 ,   0

Passo 3

Nós já sabemos que a equação vetorial de uma reta que passa pelo ponto P 0 com vetor diretor v é dada por:

r t = r 0 + t v

Onde r 0 = P 1 ,   0 ,   1 . Então, substituindo os valores, vamos ter:

r t = 1 ,   0 ,   1 + t 1 ,   3 ,   0

Para obter o segmento de reta que liga P a Q , o parâmetro t deve variar de 0 a 1 . Então, se t = 0 , temos:

r 0 = 1 ,   0 ,   1 + 0 ⋅ ( 1 ,   3 ,   0 )

r 0 = 1 ,   0 ,   1 = P

E se t = 1 , temos:

r 1 = 1 ,   0 ,   1 + 1 ⋅ ( 1 ,   3 ,   0 )

r 1 = 2 ,   3 ,   1 = Q

Assim, a equação vetorial do segmento de reta será:

r → t = 1 + t i ^ + 3 t j ^ + 1 k ^ ,     0 ≤ t ≤ 1

Passo 4

As equações paramétricas são as componentes da equação vetorial, expressando x , y e z em função do parâmetro t :

r t = x t ,   y t ,   z t

Então, vamos ter:

r t = 1 + t ⋅ 1 ,   0 + t ⋅ 3 ,   1 + t ⋅ 0

r t = 1 + t ,   3 t ,   1

E as equações paramétricas do segmento de reta são:

x t = 1 + t y t = 3 t z t = 1

Para 0 ≤ t ≤ 1 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

r → t = 1 + t i ^ + 3 t j ^ + 1 k ^ ,     0 ≤ t ≤ 1

x t = 1 + t y t = 3 t z t = 1

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