Enunciado

Determine a derivada da função vetorial.

r (t) = t a xx ( b + t c )

Passo 1

Em uma equação paramétrica do tipo:

r (t) = x (t) a + y (t) b + z (t) c

A derivada dessa função vetorial r ' ( t ) é:

r^' (t) = (d r)/(d t) = x^' (t) a + y^' (t) b + z^' (t) c

Passo 2

Queremos calcular a derivada da seguinte função vetorial:

r (t) = a t xx ( b + t c )

Temos a função vetorial definida por um produto vetorial. Para resolvê-lo, podemos organizar os 2 vetores no seguinte determinante, sendo a segunda linha o primeiro vetor e a terceira o segundo:

r (t) = t a xx (b + t c) = |[[a,b,c],[t,0,0],[0,1,t]]| = a |[[0,0],[1,t]]| - b |[[t,0],[0,t]]| + c |[[t,0],[0,1]]|

r (t) = t a xx (b + t c) = a (0 t - 0) - b (t^2) + c ( t )

r (t) = - t^2 b + t c

Passo 3

Vamos calcular r^' (t) !

r^' (t) = (d)/(d t) (- t^2) b + (d)/(d t) (t) c

r^' (t) = - 2 t b + c

Resposta

r^' (t) = - 2 t b + c

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Demonstre a fórmula 5 do Teorema 3.(d)/(d t) [u (t) xx v ( t )] = u^' (t) xx v ( t ) + u (t) xx v ' ( t )
Se u e v são as funções vetoriais do Exercício 45, use a Fórmula 5 do Teorema 3 para encontrar d d t [ u t × v t ]
Se r (t) != 0 , mostre que (d)/(d t) |r (t)| = (1)/(|r (t)|) r (t) * r ' ( t ) [Sugestão: |r (t)|^2 = r (t) * r ( t ) ] .
Calcule a integral.int_1^4 (sqrt(t) hat i + t e^(- t) hat j + (1)/(t^2) hat k) d t