Enunciado

Se r (t) != 0 , mostre que

(d)/(d t) |r (t)| = (1)/(|r (t)|) r (t) * r ' ( t )

[Sugestão: |r (t)|^2 = r (t) * r ( t ) ] .

Passo 1

Sabemos que |r (t)|^2 = r (t) * r ( t ) . Substituindo na derivada temos

(d)/(d t) |r (t)| = (d)/(d t) [r (t) * r (t)]^((1)/(2))

Da regra da cadeia (Fórmula 6 do Teorema 3), obtemos

(d)/(d t) [r (t) * r (t)]^((1)/(2)) = (1)/(2) [r (t) * r (t)]^(- 1 // 2) (d)/(d t) [r (t) * r (t)]

Passo 2

Da Fórmula 4 do Teorema 3 sabemos a derivada de um produto vetorial. Logo

(1)/(2) [r (t) * r (t)]^(- 1 // 2) (d)/(d t) [r (t) * r (t)] = (1)/(2) [r (t) * r (t)]^(- 1 // 2) [ 2 (r (t) * r ' (t)) ]

Simplificando a última expressão, obtemos

(1)/(2) [r (t) * r (t)]^(- 1 // 2) [2 (r (t) * r ' ( t ))] = (2)/(2) (1)/([r (t) * r (t)]^((1)/(2))) [ r (t) * r ' ( t ) ]

Lembrando novamente que |r (t)|^2 = r (t) * r ( t ) , substituímos a expressão no denominador e obtemos:

(d)/(d t) |r (t)| = (1)/(|r (t)|) [ r (t) * r ' ( t ) ]

Passo 3

Lembrando novamente que |r (t)|^2 = r (t) * r ( t ) , substituímos a expressão no denominador e obtemos:

(2)/(2) (1)/([r (t) * r (t)]^((1)/(2))) [ r (t) * r ' ( t ) ] = (1)/(|r (t)|) [ r (t) * r ' ( t ) ]

Resposta

(d)/(d t) |r (t)| = (1)/(|r (t)|) [ r (t) * r ' ( t ) ]

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