Enunciado

Determine a derivada da função vetorial.

r (t) = a t cos 3 t i + b sin^3 t j + c cos^3 t k

Passo 1

Em uma equação paramétrica do tipo:

r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k

A derivada dessa função vetorial r ' ( t ) é:

r^' (t) = (d r)/(d t) = x^' (t) i + y^' (t) j + z^' (t) k

Passo 2

Queremos calcular a derivada da seguinte função vetorial:

r (t) = a t c o s (3 t) i + b s e n^3 (t) j + c c o s^3 (t) k

Relembrando a regra da cadeia:

(d)/(d x) f (g (x)) = f^' (g (x)) g ' ( x )

E a regra do produto:

(d)/(d x) f (x) g (x) = f (x) g^' (x) + f^' (x) g ( x )

Então:

r ' (t) = (d (a t c o s (3 t)))/(d t) i + (d (b s e n^3 (t)))/(d t) j + (d (c c o s^3 (t)))/(d t) k

r^' (t) = [acos (3 t) - 3 a t s e n (3 t)] i + 3 b s e n^2 (t) c o s (t) j - 3 c c o s^2 (t) s e n ( t ) k

Resposta

r^' (t) = [acos (3 t) - 3 a t s e n (3 t)] i + 3 b s e n^2 (t) c o s (t) j - 3 c c o s^2 (t) s e n ( t ) k

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