Enunciado

Um homem pesando 160 l b carrega uma lata de tinta de 25 l b por uma escada helicoidal em torno de um silo de raio de 20   p é s . Se o silo tem 90   p é s de altura e o homem dá três voltas completas em torno do silo, quanto trabalho é realizado pelo homem contra a gravidade para subir ao topo?

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra começar vamos determinar a força total que o homem deve fazer contra a gravidade. Se pesa 160 l b e ele está carregando uma lata de tinta de 25 l b , no mínimo ele deve fazer uma força de 185 l b na direção vertical. Então a força F → fica:

F → = 185 k →

Ok?

Passo 2

Vamos agora parametrizar o caminho C . Como ele dá três voltas completas, então o deslocamento angular é 3.2 π . Se o silo tem 20 p é s   de raio e 90 p é s   de altura, uma parametrização possível é:

x = 20 c o s t ,     y = 20 s e n t ,     z = 90 t 6 π ,   0 ≤ t ≤ 6 π

E assim o vetor r → fica:

r → = 20 c o s t i → + 20 s e n t j → + 15 t π k →

E o vetor d r → ? Bom, ele é a derivada de r → :

d r → = - 20 s e n t i → + 20 c o s t j → + 15 π k →

E a função F → na nova parametrização? Como ela é constante, independe da parametrização =D.

Passo 3

Beleza! Agora para calcular o trabalho temos:

W = ∫ C F → ⋅ d r → = ∫ 0 6 π 0,0 , 185 ⋅ - 20 s e n t ,   20 c o s t , 15 / π d t

Pronto! Agora precisamos fazer o produto escalar do integrando e fazer a integral! Vamos lá?

W = 185.15 π ∫ 0 6 π d t = 185.15 π . 6 π = 16650 f t . l b

Assim o trabalho realizado é W = 1,6 . 10 4 f t - l b

Resposta

W = 1,6.10 4 f t - l b

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Use uma calculadora ou um SCA para calcular a integral de linha correta até a quarta casa decimal. ∫ C F ∙ d r , onde F x ,y ,z = ys e nzi + zs e nxj + xs e nyk e r t = cos ⁡ t i + s e ntj + s e n 5 t
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