Enunciado

Um homem pesando 160 l b carrega uma lata de tinta de 25 l b por uma escada helicoidal em torno de um silo de raio de 20 pés. Se o silo tem 90 pés de altura e o homem dá três voltas completas em torno do silo, quanto trabalho é realizado pelo homem contra a gravidade para subir ao topo?

Passo 1

Oi galera, tudo bem?

Temos um cara doidão que pesa 160 l b , carregando uma lata de tinta com peso de 25 l b , subindo por uma escada helicoidal, em torno de um silo de raio de 20 pés e altura de 90 pés.

Se ele maluco der três voltas completas em torno do silo pra subir no topo, qual o trabalho realizado contra a gravidade?

Se estamos trabalhando com trabalho, iremos fazer um cálculo de integrais de linha.

W = ∫ C F → ⋅ d r →

Então vamos parametrizar algumas informações e depois arrastar pra cima!

Para começar, vamos determinar a força total que o homem deve fazer contra a gravidade.

Se ele pesa 160 l b e ele está carregando uma lata de tinta de 25 l b , no mínimo ele deve fazer uma força total de 185 l b na direção vertical. Então:

F → = 185 k →

Passo 2

Vamos agora parametrizar o caminho C . Como estamos numa escada helicoidal, vamos interpretar que estamos nas coordenadas cilíndricas.

x = r c o s θ

y = r s e n θ

z = z

Se o silo tem 20   pés de raio, 90 pés de altura e três voltas na escada ( 3 ⋅ 2 π ) , uma parametrização possível é:

x = 20 c o s t ,     y = 20 s e n t ,     z = 90 t 6 π = 15 π ,     0 ≤ t ≤ 6 π

E assim o vetor r → fica:

r → = 20 c o s t i → + 20 s e n t j → + 15 t π k →

E o vetor d r → ? Bom, ele é a derivada de r → , que está lá na fórmula do trabalho e precisamos saber!

d r → = - 20 s e n t i → + 20 c o s t j → + 15 π k →

E a função F → na nova parametrização? Como ela é constante, independe da parametrização =D.

Passo 3

Beleza! Agora para calcular o trabalho:

W = ∫ C F → ⋅ d r →

∫ 0 6 π 0,0 , 185 ⋅ - 20 s e n t ,   20 c o s t , 15 / π d t

Pronto! Agora precisamos fazer o produto escalar do integrando e calcular a integral! Vamos lá?

W = 185.15 π ∫ 0 6 π d t

185.15 π ⋅ 6 π = 16650 f t ⋅ l b

Assim, o trabalho realizado é

W = 1,6 ⋅ 10 4 f t ⋅ l b

Resposta

W = 1,6 ⋅ 10 4 f t ⋅ l b

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