Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.2 - Ex. 45
Um homem pesando carrega uma lata de tinta de por uma escada helicoidal em torno de um silo de raio de . Se o silo tem de altura e o homem dá três voltas completas em torno do silo, quanto trabalho é realizado pelo homem contra a gravidade para subir ao topo?
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Pra começar vamos determinar a força total que o homem deve fazer contra a gravidade. Se pesa e ele está carregando uma lata de tinta de , no mínimo ele deve fazer uma força de na direção vertical. Então a força fica:
Ok?
Passo 2
Vamos agora parametrizar o caminho Como ele dá três voltas completas, então o deslocamento angular é . Se o silo tem de raio e de altura, uma parametrização possível é:
E assim o vetor fica:
E o vetor ? Bom, ele é a derivada de :
E a função na nova parametrização? Como ela é constante, independe da parametrização =D.
Passo 3
Beleza! Agora para calcular o trabalho temos:
Pronto! Agora precisamos fazer o produto escalar do integrando e fazer a integral! Vamos lá?
Assim o trabalho realizado é