Enunciado

Determine a derivada da função vetorial.

r (t) = sin^(- 1) t i + sqrt(1 - t^2) j + k

Passo 1

Em uma equação paramétrica do tipo:

r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k

A derivada dessa função vetorial r ' ( t ) é:

r^' (t) = (d r)/(d t) = x^' (t) i + y^' (t) j + z^' (t) k

Passo 2

Queremos calcular a derivada da seguinte função vetorial:

r (t) = s e n^(- 1) (t) i - sqrt(1 - t^2) j + k

Lembrando que a função s e n^(- 1) ( t ) não é seno elevado a - 1 . É a função a r c s e n , que em inglês é chamada de s e n^(- 1) . E sua derivada é:

(d)/(d t) (s e n^(- 1) (t)) = (1)/(sqrt(1 - t^2))

Relembrando a regra da cadeia:

(d)/(d x) f (g (x)) = f^' (g (x)) g ' ( x )

Então:

r (t) = (d (s e n^(- 1) ( t )))/(d t) i + (d (sqrt(1 - x^2)))/(d t) j + (d (1))/(d t) k

r^' (t) = (1)/(sqrt(1 - t^2)) i - (t)/(sqrt(1 - t^2)) j + 0 k

r^' (t) = (1)/(sqrt(1 - t^2)) i - (t)/(sqrt(1 - t^2)) j

Resposta

r^' (t) = (1)/(sqrt(1 - t^2)) i - (t)/(sqrt(1 - t^2)) j

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