1.
  1. Sejam f , g : R 3 → R funções diferenciáveis tais que f x , y , g x , y = 0 para todo x , y ϵ R 2 . Sabendo que g = g x , y ,   f = f ( u , v , w ) e ∂ y ∂ w ( u , v , w ) ≠ 0 , calcule ∂ g ∂ x e ∂ g ∂ y
Resolução
2.

Seja

h x , y , z = g ( y 2 + x z , x y z )

Onde g é uma função real diferenciavel. Encontre ∇ h ( 1 , - 1 , - 4 ) sabendo que ∇ g - 3,2 = ( 1,3 ) e ∇ g 1,3 = ( - 3,2 ) .

Resolução
3.

Sejam F x , y , z = 3 x 2 + y z , z + y 3 e G x , y = x 2 + y 2 , x y , x 3 , x + y 3 .

  1. Verifique que uma das compostas F ∘ G ou G ∘ F não está definida.
  2. Determine F ' x , y , z e G ' x , y , z
  3. Determine F ∘ G ' 1 , - 1 ou G ∘ F ' 1 , - 1,2 , a que for possível
Resolução
4.

Sejam p , v ∈ R n , f : R n → R uma função de classe C 1 e α : R → R n a curva parametrizada definida por α t = p + t . v

  1. Calcule a matriz jacobiana de f e de α
  2. Calcule a derivada de h ≔ f ∘ α no ponto t
  3. Repita os itens anteriores para n = 2 , p = 1,0 , v = - 1,0 e f x , y = x 2 - y 2 x
Resolução
5.

Seja f u = u 2 + 1 ,   u , em que u = g x , y , z é uma função real diferenciável, tal que g 1,2 , 3 = 1 e ∇ g 2,1 , 3 = 5,3 , - 1 . Se F = f ∘ g , encontre F x 2,1 , 3 ,   F y 2,1 , 3 e F z 2,1 , 3 .

Resolução
6.

Sejam F x , y , z = 3 x 2 + y z , z + y 3 e G x , y = x 2 + y 2 , x y , x 3 , x + y 3 .

  1. Verifique que uma das compostas F ∘ G ou G ∘ F não está definida.
  2. Determine F ' x , y , z e G ' x , y , z
  3. Determine F ∘ G ' 1 , - 1 ou G ∘ F ' 1 , - 1,2 , a que for possível
Resolução
7.

Seja h x , y , z =   g y 2 + x z , x y z , em que g é uma função real diferenciável. Encontre ∇ h 1 , - 1 , - 4 sabendo que ∇ g - 3,2 = 1,3 e ∇ g 1,3 = - 3,2 .

Resolução
8.

Seja f u = u 2 + 1 ,   u , em que u = g x , y , z é uma função real diferenciável, tal que g 1,2 , 3 = 1 e ∇ g 2,1 , 3 = 5,3 , - 1 . Se F = f ∘ g , encontre F x 2,1 , 3 ,   F y 2,1 , 3 e F z 2,1 , 3 .

Resolução
9.

1. Considere as funções f : U   ⊂   R 2 → f U ⊂ R 2 u , v → u - v 2 , u + v 2 e g : V   ⊂ R 2 → g V ⊂ R 2 x , y → y + x 2 , y - x 2 onde U = u , v ∈ R 2 : u > v e V = x , y ∈   R 2 : x > 0

a) Verifique que g   o   f u , v = u , v ,   ∀ u , v ∈ U ⊂ R 2 e f   o   g x , y = x , y ;   ∀ x , y ∈ V ⊂ R 2 . O que se pode concluir sobre f e g ?

b) Determine D f u , v e D g x , y .

c) Se x , y = f u , v e u , v = g x , y e I é a matriz identidade 2   x   2 , faça os produtos nos lados esquerdos das igualdades a seguir e verifique que:

D g f u , v x   D f u , v = I ,   ∀ u , v ∈ U ⊂ R 2 e D f g x , y x D g x , y = I ,   ∀ x , y ∈ V ⊂ R 2 .

Sem calcular esses produtos, já era esperado que essas igualdades se verificassem. Por que?

Resolução
10.

Sejam p , v ∈ R n , f : R n → R uma função de classe C 1 e α : R → R n a curva parametrizada definida por α t = p + t . v

  1. Calcule a matriz jacobiana de f e de α
  2. Calcule a derivada de h ≔ f ∘ α no ponto t
  3. Repita os itens anteriores para n = 2 , p = 1,0 , v = - 1,0 e f x , y = x 2 - y 2 x
Resolução
11.

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. (aviso: resposta errada ou resposta certa sem justificativa receberá zero no respectivo item.)

Se f : R 2 → R é dada por f x , y = x 2 + y 2 e h r , θ = f r cos ⁡ θ , r sen ⁡ θ , então

∂ h ∂ r r , θ + ∂ h ∂ θ r , θ = 2 r

Resolução
12.

Seja g : R 2 → R uma função diferenciável. Calcule a matriz jacobiana de

h x , y , z = g y z + x 2 , y 2 + x e z

no ponto 1,1 , 0

Resolução
13.

Uma função f : R 2 → R diz-se homogênea de grau a ∈ R , se f t X = t a f X para todo X ∈ R 2 \ 0,0 e para todo t ∈ R + .

Suponha que f : R 2 → R é uma função derivável em R 2 \ 0,0 . Mostre que, se f é homogênea de grau a , então < ∇ f X , X >   = a f X , para todo X ∈ R 2 \ 0,0 .

Sugestão: aplicar a regra da cadeia à função ψ t = f t X

Resolução
14.
  1. Seja g : R 3 → R uma função diferenciável. Calcule a matriz jacobiana da função
  2. h ρ ,   φ , θ = g ρ cos ⁡ θ s i n   φ ,   ρ sin ⁡ θ sin ⁡ φ   ,   ρ cos ⁡ θ

    no ponto 2 , π , π 2 .

  3. Sejam f , g : R 3 → R funções diferenciáveis tais que f x , y , g x , y = 0 para todo x , y ϵ R 2 . Sabendo que g = g x , y ,   f = f ( u , v , w ) e ∂ y ∂ w ( u , v , w ) ≠ 0 , calcule ∂ g ∂ x e ∂ g ∂ y
Resolução

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