Enunciado

16. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f x , y , z = 3 x - y - 3 z ; x + y - z = 0 ; x 2 + 2 z 2 = 1

Passo 1

Como ele nos disse para usar os multiplicadores de Lagrange e temos duas restrições vamos fazer o seguinte:

∇ f = λ ∇ g + μ ∇ h

Onde g ( x , y , z ) = x + y - z = 0 e h ( x , y , z ) = x 2 + 2 z 2 = 1 .

Passo 2

Agora vamos achar os vetores gradientes:

∇ f = λ ∇ g + μ ∇ h     ( i )

Logo,

< f x , f y , f z >   = λ < g x , g y , g z > + µ < h x , h y , h z >

A função f ( x , y , z ) é a seguinte:

f x , y , z = 3 x - y - 3 z

Então o vetor gradiente fica:

∇ f =   < 3 , - 1 , - 3 >

Agora vamos ver como fica o ∇ g :

g x , y , z = x + y - z Assim, ∇ g =   < 1,1 , - 1 >

Por fim, vamos achar ∇ h : h x , y , z = x 2 + 2 z 2 logo, ∇ h =   < 2 x , 0 ,   4 z >   Substituindo na equação ( i ) :

Passo 3

Montando o sistema:

λ + 2 μ x = 3 λ = - 1 - λ + 4 μ z = - 3 x + y - z = 0 x 2 + 2 z 2 = 1

Essas duas últimas equações, são do enunciado. Da segunda equação: λ = - 1 logo, 2 μ x = 4 4 μ z = - 4 x + y - z = 0 x 2 + 2 z 2 = 1

Isolando x e z das duas primeiras equações e substituindo na última:

x = 2 μ e z = - 1 μ

logo,

4 μ 2 + 2 μ 2 = 1

Portanto,

μ 2 = 6 → μ = ± 6

No caso de μ = 6 :

x = 2 6 e z = - 1 6

Mas da penúltima equação do nosso sistema:

x + y - z = 0

Assim,

y = z - x

Substituindo:

y = - 3 6

No caso de μ = - 6 , é só fazer a mesma coisa e chegamos em:

x = - 2 6 ,   y = 3 6 e z = 1 6

Passo 4

Pra finalizar, vamos achar os valores de f :

f - 2 6 , 3 6 , 1 6 = 3 × - 2 6 - 1 × 3 6 - 3 × 1 6

Assim,

f - 2 6 , 3 6 , 1 6 = - 12 6 = - 2 6

Este representará o ponto de mínimo.

Para o outro ponto:

f 2 6 , - 3 6 , - 1 6 = 3 × 2 6 - 1 × - 3 6 - 3 × - 1 6

Logo,

f 2 6 , - 3 6 , - 1 6 = 12 6 = 2 6

E este representará o ponto de máximo.

Resposta

f - 2 6 , 3 6 , 1 6 = - 2 6 é o mínimo

f 2 6 , - 3 6 , - 1 6 = 2 6 é o máximo

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Determine os valores extremos de f sujeita a ambas as restrições. f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 ;x - y = 1 , y 2 - z 2 = 1
Determine os valores extremos de f sujeita a ambas as restrições. f x , y , z = x + 2 y ;x + y + z = 1 , y 2 + z 2 = 4
Resolva pelo método dos multiplicadores de Lagrange o exercício 40 da seção 14.7 .Determine o ponto do plano x - 2 y + 3 z = 6 que está mais próximo do ponto ( 0 ,1 ,1 ) .