Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.8 - Ex. 16
16. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
; ;
Passo 1
Como ele nos disse para usar os multiplicadores de Lagrange e temos duas restrições vamos fazer o seguinte:
Onde e .
Passo 2
Agora vamos achar os vetores gradientes:
Logo,
A função é a seguinte:
Então o vetor gradiente fica:
Agora vamos ver como fica o :
Assim,
Por fim, vamos achar :logo, Substituindo na equação :
Passo 3
Montando o sistema:
Essas duas últimas equações, são do enunciado. Da segunda equação:logo,
Isolando e das duas primeiras equações e substituindo na última:
e
logo,
Portanto,
No caso de :
e
Mas da penúltima equação do nosso sistema:
Assim,
Substituindo:
No caso de , é só fazer a mesma coisa e chegamos em:
e
Passo 4
Pra finalizar, vamos achar os valores de :
Assim,
Este representará o ponto de mínimo.
Para o outro ponto:
Logo,
E este representará o ponto de máximo.
Resposta
é o mínimo
é o máximo