Enunciado

Determine os vetores velocidade e aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.

r t = < 2 cos ⁡ t ,   3 t ,   2 sin ⁡ t >

Passo 1

Uma partícula que tem uma função vetorial de posição do tipo:

r t = < x t , y t , z t >

Tem como função vetorial velocidade:

v t = d r ( t ) d t = < d x ( t ) d t , d y ( t ) d t , d z ( t ) d t >

Velocidade escalar:

v t = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2

E vetor aceleração:

a t = d v d t = d 2 r ( t ) d t 2 = < d 2 x ( t ) d t 2 , d 2 y ( t ) d t 2 , d 2 z ( t ) d t 2 >

Passo 2

Queremos calcular o vetor velocidade, velocidade escalar e aceleração da seguinte função vetorial:

r t = < 2 cos ⁡ t , 3 t , 2 s e n ( t ) >

Vamos calcular a velocidade:

v t = < d d t 2 cos ⁡ t   , d d t 3 t , d d t 2 s e n ( t ) >

v t = < - 2 s e n t , 3 ,   2 c o s ⁡ ( t ) >

Passo 3

A velocidade escalar da partícula é:

v t = - 2 s e n t 2 + 3 2 + 2 cos ⁡ t 2 → v t = 9 + 4 s e n 2 t + cos 2 ⁡ t

v t = 13

Passo 4

O vetor aceleração da partícula é:

a t = d 2 r d t 2 = d v d t = d d t - 2 s e n t , d d t ( 3 ) , d d t 2 cos ⁡ t >

a t = < - 2 cos ⁡ t , 0 , - 2 s e n ( t ) >

Resposta

v t = < - 2 s e n t , 3 ,   2 c o s ⁡ ( t ) >

v t = 13

a t = < - 2 cos ⁡ t , 0 , - 2 s e n ( t ) >

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Sejam f → t = t i → + 2 t 2 j → + 3 t 3 k → e g → t = 2 t i → + j → - 3 t 2 k → ,t ≥ 0 . Calcular:(g) lim t → 0 ⁡ [ f → t × g → ( t ) ]
Calcular os seguintes limites de funções vetoriais de uma variável.(e) lim t → 0 ⁡ 2 t - 1 ti → + 2 t - 1 j → + t k →
Sejam f → t = a → t + b → t 2 e g → t = t i → + s e n ⁡ t j → + cos ⁡ t k → , com a → = i → + j → e b → = 2 i → - j → ; 0 ≤ t ≤ 2 π . Calcular:(e) f → t - 1 + g → ( t + 1 )