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Exercícios Resolvidos de Cálculo Volume 2 5ª Edição - James Stewart

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 5ª Edição - James Stewart - 13.4 - 3

Escreva o enunciado aqui.

Passo 1

Uma partícula que tem uma função vetorial de posição do tipo:

r t = < x t , y t , z t >

Tem como função vetorial velocidade:

v t = d r ( t ) d t = < d x ( t ) d t , d y ( t ) d t , d z ( t ) d t >

Velocidade escalar:

v t = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2

E vetor aceleração:

a t = d v d t = d 2 r ( t ) d t 2 = < d 2 x ( t ) d t 2 , d 2 y ( t ) d t 2 , d 2 z ( t ) d t 2 >

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Queremos calcular o vetor velocidade, velocidade escalar e aceleração, e após isso, esboçar a curva da seguinte função vetorial, desenhando o vetor aceleração e posição no ponto:

r t = < t 2 - 1 , t > t = 1

O vetor posição em t = 1 é:

r 1 = < 0,1 >

Vamos calcular a velocidade:

v t = < d d t t 2 - 1 , d d t t >

v t = < 2 t , 1 >

Em t = 1 :

v 1 = < 2,1 >

Passo 3

A velocidade escalar da partícula é:

v t = 2 2 + 1 2 → v t = 5

Passo 4

O vetor aceleração da partícula é:

a t = v ' t =   < 2,0 >

Em t = 1 :

a 1 =   < 2,0 >

Passo 5

Para esboçar a curva, vamos transformar a equação paramétrica em equação cartesiana:

x = t 2 - 1 ,     ( 1 ) y = t ,     ( 2 )

Aplicando ( 2 ) em ( 1 ) :

x = y 2 - 1

y 2 = x + 1

Que é uma parábola. Seu gráfico é:

Resposta

v t = < 2 t , 1 >

v t = 5

a t = v ' t =   < 2,0 >

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