Enunciado

Encontre T , N   e   κ para as curvas espaciais nos Exercícios 9-16.

12. 6 sen ⁡ 2 t i + 6 cos ⁡ 2 t j + 5 t k

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

O procedimento neste tipo de tarefa é o mesmo para curvas planas e espaciais. A maior parte é cálculo simples, mas é preciso ter cuidado com as condições (se houver) dadas na tarefa. Recebemos a curva r ( t ) e precisamos encontrar o vetor tangente unitário T , o vetor normal unitário N e a curvatura κ em qualquer ponto t . Primeiro encontramos r ' ( t ) . Depois disso, aplicamos as seguintes relações. O vetor tangente unitário é simplesmente uma derivada normalizada da equação da curva:

T = r ' ( t ) r ' ( t )

Para prosseguir com o cálculo, encontramos a derivada do vetor tangente unitário T ' e depois o normalizamos. A partir daí, desde:

T ' = d T d t

Encontramos o vetor normal unitário que é dado como:

N = T ' T '

Na etapa final dos cálculos, encontramos a curvatura que é definida como:

κ = T ' r '

Passo 2

A curva que nós estamos considerando é

r t = 6 sen ⁡ 2 t i + 6 cos ⁡ 2 t j + ( 5 t ) k

A derivada da curva é igual a

r ' t = 12 cos ⁡ 2 t i - 12 sen ⁡ 2 t j + 5 k

A norma (medida) da derivada pode ser dada como

r ' = 144 cos 2 ⁡ 2 t + 144 sen 2 ⁡ 2 t + 25 = 144 + 25 = 13

Com isso podemos calcular o vetor tangente:

T = r ' r ' = 12 13 cos ⁡ 2 t i - 12 13 sen ⁡ 2 t j + 5 13 k

Passo 3

A próxima etapa em nossos cálculos exige que obtenhamos uma derivada do vetor tangente. Neste caso é igual a:

T ' = - 24 12 sen ⁡ 2 t i + 24 13 cos ⁡ 2 t j + 0 k

O novo vetor não precisa ser o vetor unitário, então calculamos sua norma:

T ' = 24 13

O vetor normal unitário é então dado como:

N = T ' T ' = - sen ⁡ 2 t i + cos ⁡ 2 t j + 0 k

Finalmente, a curvatura é igual a:

κ = T ' r ' = 24 169

Resposta

T = 12 13 cos ⁡ 2 t i - 12 13 sen ⁡ 2 t j + 5 13 k

N = = - sen ⁡ 2 t i + cos ⁡ 2 t j + 0 k

κ = 24 169

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