Enunciado

Escreva uma equação polar de uma cônica com o foco na origem e com os dados fornecidos.

H i p é r b o l e ,         e x c e n t r i c i d a d e   7 4   ,         d i r e t r i z   y = 6

Passo 1

Beleza, galera? Aqui vamos escrever uma equação polar pra hipérbole, e lembre-se que as formas possíveis pra se escrever uma cônica são:

r = e d 1 ± e cos ⁡ θ       o u       r = e d 1 ± e   s e n   θ

E o que determina qual fórmula usar? Bom, se a diretriz é paralela ao eixo x , ou seja, se a equação da reta é y = ±   c o n s t a n t e , então usamos a fórmula com seno; e se for paralela ao eixo y , ou x = ±   c o n s t a n t e , usamos a fórmula com cosseno.

Se a diretriz estiver na parte positiva (geralmente à direita do eixo y ou acima do eixo x ), o sinal escolhido é o positivo; do contrário, é negativo.

Pra vc lembrar, uma dica é associar y ao s e n   θ porque, em coordenadas polares, y = r   s e n   θ , e associar x ao cos ⁡ θ porque x = r cos ⁡ θ .   Então, se aparecer y na equação da reta, então aparece s e n   θ na fórmula; e se aparecer x , então a fórmula é com cos ⁡ θ . E se aparecer o sinal negativo na equação da diretriz ( y = - c o n s t a n t e ), então também aparece na equação polar.

No nosso caso, a diretriz é y = 6 , ou seja, ela é paralela ao eixo x (ou se preferir, apareceu y na equação da reta então associamos isso a s e n   θ na fórmula) e

está na parte positiva, pois 6 > 0 . Então nossa fórmula deve ser:

r = e d 1 + e   s e n   θ

Passo 2

Show! Agora é só substituir as constantes fornecidas na equação:

e = 7 4

d = 6

r = 7 4 .   6 1 + 7 4   s e n   θ

r = 42 4 + 7   s e n   θ

Resposta

r = 42 4 + 7   s e n   θ

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