Enunciado

Encontre a equação cartesiana para a curva descrita pela equação polar dada.

r = t g   θ ⋅ sec ⁡ θ

Passo 1

Primeiramente, o que é uma equação polar?

É uma substituição feita na equação cartesiana da seguinte forma:

x = r ⋅ c o s   θ

y = r ⋅ sen ⁡ θ

Passo 2

Vamos manipular a equação do enunciado para acharmos relações que possam ajudar na resolução, substituindo t g   θ por sen ⁡ θ cos ⁡ θ e sec ⁡ θ por 1 cos ⁡ θ :

r = sen ⁡ θ cos ⁡ θ ⋅ 1 cos ⁡ θ

Multiplicando cos ⁡ θ dos dois lados já conseguimos uma relação do lado esquerdo enquanto cancelamos a sec ⁡ θ do outro lado:

r ⋅ cos ⁡ θ = sen ⁡ θ cos ⁡ θ ⋅ 1 cos ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ

r ⋅ cos ⁡ θ = sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Passo 3

Antes de irmos as substituições precisamos isolar sen ⁡ θ e cos ⁡ θ na definição para substituirmos do lado direito:

Na primeira equação x = r ⋅ c o s   θ vamos apenas dividir por r dos dois lados:

x r = r r ⋅ c o s   θ

Invertendo os lados temos:

cos ⁡ θ = x r

Repetindo o mesmo processo para y = r ⋅ sen ⁡ θ chegamos em:

sen ⁡ θ = y r

Passo 4

Por fim é só substituir:

r ⋅ cos ⁡ θ = sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Do lado esquerdo podemos usar a definição x = r ⋅ c o s   θ e do lado direito é só usar as relações que encontramos neste passo

x =   y r x r

Fazendo a divisão de frações e cancelando o r :

x = y r ⋅ r x

x = y x

Multiplicando x dos dois:

x 2 = y x ⋅ x

Invertendo os lados, chegamos em:

y = x ²

Resposta

y = x ²

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Mostre que a equação de uma cônica que tem o eixo principal ao longo do eixo polar e de sua extensão, um foco na origem e cuja diretriz está à direita do foco, é: r = e d 1 + e cos ⁡ θ
Mostre que a equação de uma cônica que tem eixo principal ao longo do semi-eixo π 2 e de sua extensão, um foco na origem e cuja diretriz correspondente está acima do foco é r = e d 1 + e sen ⁡ θ
Nos exercícios de 23 a 28, ache a equação polar da cônica que tem um foco na origem e que satisfaz as condições dadas.24. elipse; e =1/2, vértice em 4 , π
Nos exercícios de 23 a 28, ache a equação polar da cônica que tem um foco na origem e que satisfaz as condições dadas.23. Parábola; vértice em 4 , 3 π 2
Nos exercícios de 23 a 28, ache a equação polar da cônica que tem um foco na origem e que satisfaz as condições dadas.25. Hiperbole ; e = 4/3 , r c o s θ = 9éad i r e t r i zc o r r e s p o n d e n t