Enunciado

Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no exemplo 7 ). Não determine os valores numéricos dos coeficientes .

x 4 + 1 x 5 + 4 x 3

1 x 2 + 9 2

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos da duas funções:

a   x 4 + 1 x 5 + 4 x 3

b   1 x 2 + 9 2

O que precisamos fazer aqui é decompor essas integrais em frações parciais. E o enunciado dá até a dica pra fazemos igual ao exemplo 7 do livro!

Só pra refrecar a memória, lá tínhamos:

x 3 + x 2 + 1 x x - 1 x 2 + x + 1 x 2 + 1 3

E chegamos em:

A x + B x - 1 + C x + D x 2 + x + 1 + E x + F x 2 + 1 + G x + H x 2 + 1 2 + I x + J x 2 + 1 3

A gente divide a função em frações parciais mas aqui o problema não pede pra determinarmos os coeficientes A ,   B ,   C …

Passo 2

Vamos começar com a letra (a), nossa função é:

x 4 + 1 x 5 + 4 x 3

Note que precisamos reescrever o denominador em termos de grau menor apenas, já que o grau do numerador é menor que o do denominador. Primeiro podemos colocar o x 3 em evidência:

x 4 + 1 x 3 x 2 + 4

O x 3 cai no caso 3 do livro, onde:

1 a 1 x + b 1 n = A 1 a 1 x + b 1 + A 2 a 1 x + b 1 2 + … + A n a 1 x + b 1 n

Já o x 2 + 4 não tem mais como fatorar, então ficamos com:

x 4 + 1 x 3 x 2 + 4 = A x + B x 2 + C x 3 + D x + E x 2 + 4

Passo 3

Vamos resolver o item b)

1 x 2 + 9 2

Esse termo dentro da potência é irredutível (vemos isso porque x 2 = 9 não tem raiz), então a gente deixa assim mesmo o denominador.

Nesse caso vamos usar os dois métodos da letra (a), só que juntos:

1 x 2 + 9 2   = A x + B x 2 + 9 + C x + D x 2 + 9 2

Prontinho!

Resposta

x 4 + 1 x 3 x 2 + 4 = A x + B x 2 + C x 3 + D x + E x 2 + 4

1 x 2 + 9 2   = A x + B x 2 + 9 + C x + D x 2 + 9 2

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Calcule a integral. ∫ 3 x + 1 3 x 2 + 2 x - 1 d x
Escreva a forma da decomposição em frações parciais. (Não calcule os valores numéricos dos coeficientes.) 1 - x 2 x 3 x 2 + 2
Escreva a forma da decomposição em frações parciais. (Não calcule os valores numéricos dos coeficientes.) 2 x - 3 x 3 - x 2