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Enunciado

Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função. Não determine os valores numéricos dos coeficientes.

∫ x - 3 x 2 + 2 x + 4 2   d x

Passo 1

Precisamos reescrever essa função para facilitar a decomposição:

I = ∫ x - 3 x 2 + 2 x + 4 2   d x

Vamos reescrever esse denominador completando quadrados. Dê uma olhada nesse produto notável:

x + 1 2 = x 2 + 2 x + 1

É muito parecido com o nosso denominador, então:

x 2 + 2 x + 4 = x + 1 2 + 3

Ou seja:

I = ∫ x - 3 x + 1 2 + 3 2   d x

Passo 2

E agora podemos fazer uma substituição:

u = x + 1

d u = d x

Então:

I = ∫ u - 4 u 2 + 3 2 d u

I = ∫ u u 2 + 3 2 d u - ∫ 4 u 2 + 3 2   d u

Na primeira integral, vamos fazer a seguinte substituição:

v = u 2 + 3         ⇒         v = 2   u     d u

E na segunda integral, vamos fazer:

u = 3 tan ⁡ θ         ⇒         d u = 3 sec 2 ⁡ θ

Então:

I = ∫ u u 2 + 3 2 d u - ∫ 4 u 2 + 3 2   d u

I = 1 2 ∫ d v v 2 - 4 ∫ 3 sec 2 ⁡ θ 3 tan 2 ⁡ θ + 3 2   d θ

I = 1 2 ∫ d v v 2 - 4 ∫ 3 sec 2 ⁡ θ 9 sec 4 ⁡ θ   d θ

E lembrando que sec ⁡ θ = 1 / cos ⁡ θ :

I = 1 2 ∫ d v v 2 - 4 3 9 ∫ cos 2 ⁡ θ   d θ

Agora podemos resolver as integrais:

I = - 1 2 v - 4 3 9 θ 2 + sen ⁡ 2 θ + C

E sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ , então:

I = - 1 2 v - 2 3 9 θ + sen ⁡ θ cos ⁡ θ + C

Passo 3

Agora vamos desfazer nossas substituições:

v = u 2 + 3

u = 3 tan ⁡ θ

I = - 1 2 u 2 + 3 - 2 3 9 arctan ⁡ u 3 + sen ⁡ θ cos ⁡ θ + C

E precisamos encontrar as expressões para sen ⁡ θ e cos ⁡ θ . De forma que satisfaça:

u = 3 tan ⁡ θ sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Então:

sen ⁡ θ = u u 2 + 3

cos ⁡ θ = 3 u 2 + 3

Colocando de volta na integral:

I = - 1 2 u 2 + 3 - 2 3 9 arctan ⁡ u 3 + sen ⁡ θ cos ⁡ θ + C

I = - 1 2 u 2 + 3 - 2 3 9 arctan ⁡ u 3 + 3 u u 2 + 3 + C

E vamos substituir também u = x + 1 :

I = - 1 2 x + 1 2 + 3 - 2 3 9 arctan ⁡ x + 1 3 + 3 x + 1 x + 1 2 + 3 + C

E finalizando:

I = - 1 2 x 2 + 2 x + 4 - 2 3 9 arctan ⁡ x + 1 3 - 2 x + 1 3 x 2 + 2 x + 4 + C

Resposta

A integral é - 1 2 x 2 + 2 x + 4 - 2 3 9 arctan ⁡ x + 1 3 - 2 x + 1 3 x 2 + 2 x + 4 + C .

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