Avalie a integral:

∫ x 2 4 x - x 2 d x

Passo 1

Vamos começar reescrevendo o termo no denominador. Podemos fazer isso usando a técnica de completar quadrados:

4 x - x 2 = 4 - x - 2 2

Então ficamos com:

I = ∫ x 2 4 - x - 2 2 d x

E então vamos fazer uma substituição:

u = x - 2

d u = d x

Colocando isso na integral:

I = ∫ ( u + 2 ) 2 4 - u 2 d u

Beleza, agora deixamos a integral em um formato bem mais conveniente: podemos aplicar uma substituição trigonométrica.

Passo 2

Quanto temos uma função desse tipo no denominador:

a 2 - u 2

A melhor substituição a fazer é:

u = a sen ⁡ θ

No nosso caso:

u = 2 sen ⁡ θ

d u = 2 cos ⁡ θ   d θ

Então:

I = ∫ 2 sen ⁡ θ + 2 2 4 - 4 sen 2 ⁡ θ 2 cos ⁡ θ   d θ

I = ∫ ( 2 sen ⁡ θ + 2 ) 2 2 cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ   d θ

I = ∫ ( 2 sen ⁡ θ + 2 ) 2   d θ

Passo 3

Agora vamos “abrir” esse parênteses na integral:

I = ∫ ( 2 sen ⁡ θ + 2 ) 2   d θ

I = ∫ 4 sen 2 ⁡ θ + 8 sen ⁡ θ + 4   d θ

Os dois últimos termos tem integrais imediatas, mas temos que lembrar de algumas coisas para o primeiro:

∫ 4 sen 2 ⁡ θ   d θ

Vamos usar uma identidade trigonométrica:

4 ∫ 1 - cos ⁡ 2 θ 2   d θ = 4 1 2 θ - sen ⁡ 2 θ 4 = 2 θ - sen ⁡ 2 θ

Então a nossa integral é:

I = 2 θ - sen ⁡ 2 θ + ∫ 8 sen ⁡ θ + 4   d θ

I = 2 θ - sen ⁡ 2 θ - 8 cos ⁡ θ + 4 θ

Passo 4

E agora só falta “desfazer” as nossas substituições:

θ = arcsen ⁡ 1 2 u

θ = arcsen ⁡ 1 2 x - 2 = arcsen ⁡ x 2 - 1

Então:

I = 6 θ - sen ⁡ 2 θ - 8 cos ⁡ θ

I = 6 arcsen ⁡ x 2 - 1 - sen ⁡ 2 arcsen ⁡ x 2 - 1 - 8 cos ⁡ θ

E para substituir o cos ⁡ θ , é melhor usar outro método:

u = a sen ⁡ θ         ⇒         cos ⁡ θ = 1 - u 2 a 2

cos ⁡ θ = 1 - ( x - 2 ) 2 2 2 = - x 2 4 + x

Agora é só adicionar uma constante:

I = 6 arcsen ⁡ x 2 - 1 - sen ⁡ 2 arcsen ⁡ x 2 - 1 - 8 x - x 2 4 + C

Resposta

O valor da integral é 6 arcsen ⁡ x 2 - 1 - sen ⁡ 2 arcsen ⁡ x 2 - 1 - 8 x - x 2 4 + C .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados