Enunciado

Escreva as formas de decomposição em frações parcias da função (como no Exemplo 7 ). Não determine os valores numéricos dos coeficientes.

  1. x 3 x 2 + 4 x + 3
  2. 2 x + 1 x - 1 3 x 2 + 4 2

Passo 1

  1. Como o grau do numerador é maior que o grau do denominador, vamos dividir os dois:
  2. Dividindo x 3 por x 2 + 4 x + 3 vamos ter um quociente x - 4 e resto 13 x + 12 , assim:

    x 3 x 2 + 4 x + 3 = x - 4 + 13 x + 12 x 2 + 4 x + 3

    Agora vamos fatorar o denominador, achando as raízes de x temos:

    Usando Bhaskara:

    x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 4 ± 4 2 - 4 ∙ 1 ∙ 3 2 ∙ 1 = - 4 ± 4 2 = - 4 ± 2 2

    Temos então:

    x 1 = - 4 + 2 2 = - 2 2 = - 1

    x 2 = - 4 - 2 2 = - 6 2 = - 3

    Assim ficamos com:

    13 x + 12 x 2 + 4 x + 3 = 13 x + 12 x + 1 x + 3

    Aqui temos o Caso I, onde o denominador é um produto de fatores lineares sem repetição , vamos usar a fórmula então:

    x 3 x 2 + 4 x + 3 = x - 4 + 13 x + 12 x 2 + 4 x + 3 = x - 4 + 13 x + 12 x + 1 x + 3 = x - 4 + A x + 1 + B x + 3

    Passo 2

  3. Aqui temos o Caso I e o Caso III, onde o denominador é um produto de fatores lineares distintos, e onde contém fatores quadráticos irredutíveis sem repetição, vamos usar a fórmula então:

2 x + 1 x - 1 3 x 2 + 4 2 = A x - 1 + B x - 1 2 + C x - 1 3 + D x + E x 2 + 4 + F x + G x 2 + 4 2

Resposta

  1. x 3 x 2 + 4 x + 3 = x - 4 + A x + 1 + B x + 3
  2. 2 x + 1 x - 1 3 x 2 + 4 2 = A x - 1 + B x - 1 2 + C x - 1 3 + D x + E x 2 + 4 + F x + G x 2 + 4 2
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Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no exemplo 7). Não determine os valores númericos dos coeficientes. 5 .a x 4 x 4 - 1b t 4 + t 2 + 1 t 2 + 1 t 2 + 4 2
Faça uma substituição para expressar o integrando como função racional e então calcule a integral ∫ e 2 x e 2 x + 3 e x + 2 d x
Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no exemplo 7). Não determine os valores númericos dos coeficientes. 1 .a2 x ( x + 3 ) ( 3 x + 1 )b 1 x 3 + 2 x 2 + x
Calcule a integral. ∫ 3 4 x 3 - 2 x 2 - 4 x 3 + 2 x 2 d x
Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida. 32 .∫ d x x ln ⁡ x( ln ⁡ x - 1 )