Calcule a integral

∫ x 2 - a 2 x 4 d x

Passo 1

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral. Agora chega de papinho e vamos la.

Sugiro o seguinte, vamos dizer que

x = a sec ⁡ θ

Diferenciando, temos que

d x = a sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Tudo beleza?! Vamos substituir isso na nossa integral

∫ x 2 - a 2 x 4 d x = ∫ a 2 sec 2 ⁡ θ - a 2 a 4 sec 4 ⁡ θ a sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = ∫ a 2 sec 2 ⁡ θ - 1 a 3 sec 4 ⁡ θ sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = ∫ a tan ⁡ θ a 3 sec 4 ⁡ θ sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = 1 a 2 ∫ tan 2 ⁡ θ sec 3 ⁡ θ d θ = 1 a 2 ∫ sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Passo 2

Vamos resolver a integral pelo método da substituição

Seja u = sin ⁡ θ , temos que d u = cos ⁡ θ d θ . Substituindo, ficamos com

1 a 2 ∫ sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = 1 a 2 ∫ u 2 d u = 1 3 a 2 u 3 + c = 1 3 a 2 sin 3 ⁡ θ + c

Se lembra que dizemos que

x = a sec ⁡ θ

Então

x a = sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = a x

Sabemos também que

x 2 - a 2 = a tan ⁡ θ

Então, podemos encontrar uma expressão para o sin ⁡ θ

sin ⁡ θ cos ⁡ θ = x 2 - a 2 a

sin ⁡ θ a x = x 2 - a 2 a

sin ⁡ θ x a   = x 2 - a 2 a

sin ⁡ θ = x 2 - a 2 x

Passo 3

Agora, que encontramos uma epressão para o s in ⁡ θ podemos substituir

1 3 a 2 sin 3 ⁡ θ + c = 1 3 a 2 x 2 - a 2 x 3 + c = x 2 - a 2 3 2 3 a 2 x 3 + c

Resposta

∫ x 2 - a 2 x 4 d x = x 2 - a 2 3 2 3 a 2 x 3 + c

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