Enunciado

Calcule a integral.

∫ 0 1 x - 1 x 2 + 3 x + 2 d x

Passo 1

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Vamos lá transformar a expressão usando Frações parciais, vai ser preciso fatorar o denominador achando as raízes de x :

Usando Bhaskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 3 ± 3 2 - 4 ∙ 1 ∙ 2 2 ∙ 1 = - 3 ± 1 2 = - 3 ± 1 2

Temos então:

x 1 = - 3 + 1 2 = - 2 2 = - 1

x 2 = - 3 - 1 2 = - 4 2 = - 2

Assim ficamos com:

x - 1 x 2 + 3 x + 2 = x - 1 x + 1 x + 2

Agora é só usar o Caso I, onde o denominador é um produto de fatores lineares sem repetição:

x - 1 x + 1 x + 2 = A x + 1 + B x + 2

Passo 2

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x + 1 x + 2 :

x - 1 = A x + 2 + B x + 1

Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:

x - 1 = A x + 2 + B x + 1 = A x + 2 A + B x + B = x A + B + 2 A + B

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B = 1 → A = - B + 1 2 A + B = - 1

Isolando A na primeira e substituindo na segunda, ficamos com:

2 A + B = - 1 → 2 - B + 1 + B = - 1 → - 2 B + 2 + B = - 1 → B = 3

Assim achamos A :

A = - 3 + 1 = - 2

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ x - 1 x 2 + 3 x + 2 d x = ∫ - 2 x + 1 + 3 x + 2 d x = ∫ - 2 x + 1 d x + ∫ 3 x + 2 d x

Pronto, agora vamos resolver as duas separadamente.

Passo 3

Com a primeira vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ - 2 x + 1 d x = ∫ - 2 u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ - 2 u d u = - 2 ∫ 1 u d u = - 2 ln ⁡ u + C

Passo 4

Vamos fazer a mesma coisa com a segunda, vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = x + 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 3 x + 2 d t = ∫ 3 u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ 3 u d u = 3 ∫ 1 u d u = 3 ln ⁡ u + C

Passo 5

Juntando temos:

∫ - 2 x + 1 d x + ∫ 3 x + 2 d x = - 2 ln ⁡ u + 3 ln ⁡ u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ - 2 x + 1 d x + ∫ 3 x + 2 d x = - 2 ln ⁡ u + 3 ln ⁡ u + C = - 2 ln ⁡ x + 1 + 3 ln ⁡ x + 2 + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

∫ 0 1 x - 1 x 2 + 3 x + 2 d x = - 2 ln ⁡ x + 1 + 3 ln ⁡ x + 2 0 1 = - 2 ln ⁡ 1 + 1 + 3 ln ⁡ 1 + 2 - - 2 ln ⁡ 0 + 1 + 3 ln ⁡ 0 + 2 = - 2 ln ⁡ 2 + 3 ln ⁡ 3 - - 2 ln ⁡ 1 + 3 ln ⁡ 2 = - 2 ln ⁡ 2 + 3 ln ⁡ 3 - 3 ln ⁡ 2 = - 5 ln ⁡ 2 + 3 ln ⁡ 3

Resposta

∫ 0 1 x - 1 x 2 + 3 x + 2 d x = - 5 ln ⁡ 2 + 3 ln ⁡ 3

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