Calcule a integral.

∫ x 2 x + 1 d x

Passo 1

Como o grau do numerador é maior que o grau do denominador, vamos dividir os dois:

Dividindo x 2 por x + 1 vamos ter um quociente x - 1 e resto 1 , assim:

x 2 x + 1 = x - 1 + 1 x + 1

Vamos lá transformar a expressão usando Frações parciais, aqui já tá prontinho, não é preciso manipular nada, é só usar o Caso I, onde o denominador é um produto de fatores lineares sem repetição:

∫ x 2 x + 1 d x = ∫ x - 1 + 1 x + 1 d x = ∫ x d x + ∫ - 1 d x + ∫ 1 x + 1 d x

Pronto, agora vamos resolver as três separadamente.

Passo 2

A primeira é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ x d x = x 1 + 1 1 + 1 + C = x 2 2 + C

A segunda também é simples achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k d x = k x + C

Agora é só aplicar:

∫ - 1 d x = - x + C

Passo 3

Com a terceira vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0   d t = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 x + 1 d x = ∫ 1 u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ 1 u d u = ln ⁡ u + C

Passo 4

Juntando temos:

∫ x d x + ∫ - 1 d x + ∫ 1 x + 1 d x = x 2 2 - x + ln ⁡ u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x d x + ∫ - 1 d x + ∫ 1 x + 1 d x = x 2 2 - x + ln ⁡ u + C = x 2 2 - x + ln ⁡ x + 1 + C

Resposta

∫ x 2 x + 1 d x = x 2 2 - x + ln ⁡ x + 1 + C

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