Enunciado

Calcule a integral.

int (x^2)/(x + 1) d x

Passo 1

Como o grau do numerador é maior que o grau do denominador, vamos dividir os dois:

Dividindo x^2 por x + 1 vamos ter um quociente x - 1 e resto 1 , assim:

(x^2)/(x + 1) = x - 1 + (1)/(x + 1)

Vamos lá transformar a expressão usando Frações parciais, aqui já tá prontinho, não é preciso manipular nada, é só usar o Caso I, onde o denominador é um produto de fatores lineares sem repetição:

int (x^2)/(x + 1) d x = int x - 1 + (1)/(x + 1) d x = int x d x + int - 1 d x + int (1)/(x + 1) d x

Pronto, agora vamos resolver as três separadamente.

Passo 2

A primeira é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int x d x = (x^(1 + 1))/(1 + 1) + C = (x^2)/(2) + C

A segunda também é simples achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

Agora é só aplicar:

int - 1 d x = - x + C

Passo 3

Com a terceira vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0 d t = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (1)/(x + 1) d x = int (1)/(u) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int (1)/(u) d u = ln |u| + C

Passo 4

Juntando temos:

int x d x + int - 1 d x + int (1)/(x + 1) d x = (x^2)/(2) - x + ln |u| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int x d x + int - 1 d x + int (1)/(x + 1) d x = (x^2)/(2) - x + ln |u| + C = (x^2)/(2) - x + ln |x + 1| + C

Resposta

int (x^2)/(x + 1) d x = (x^2)/(2) - x + ln |x + 1| + C

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