Enunciado

Escreva uma fórmula diferencial que permita estimar a variação dada do volume ou da área da superfície.

  • A variação na área da superfície lateral S = π r r 2 + h 2 de um cone circular reto quando o raio varia de r 0 a r 0 + d r e a altura permanece a mesma.

Passo 1

Para calcularmos a estimativa de variação de determinada função, basta calcularmos f ' x 0 d x . Ou seja, basta calcularmos a derivada da função no valor inicial e multiplicarmos pela variação d x . Nesse caso, temos duas variáveis mas uma permanece constante, então iremos derivar somente a variável r e somente repetir a h.

Pelo enunciado temos: f x = π r r 2 + h 2     ( o   r   é   o   n o s s o   x ) , x 0 = r 0 , d x = d r

Passo 2

Temos então: f ' r = π r 0 2 + h 2 + π r 0 × 1 2 r 0 2 + h 2 × 2 r 0   d r

Essa é a fórmula que permite estimar a variação do área. Só falta simplificar...

Resposta

d S =   π r 0 2 + h 2 + π r 0 2 r 0 2 + h 2   d r

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